42. Функции у = х'1 и у = х~2 и их свойства

Определения и обозначения

Функция y = x⁻¹ задаётся формулой y = 1/x. Отрицательный показатель означает, что степень переносится в знаменатель: x⁻¹ = 1/x. Число x должно быть ненулевым, иначе знаменатель станет равен нулю. Эта запись позволяет быстро находить значения функции и строить её график.

Функция y = x⁻² задаётся формулой y = 1/x². Здесь квадрат аргумента стоит в знаменателе, поэтому сначала возводят x в квадрат, а затем делят единицу на результат. При любом ненулевом x квадрат положителен, значит, и значение функции положительно. Это свойство помогает сразу определить, по какую сторону от оси x располагается график.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Для обеих рассматриваемых функций это все числа, кроме нуля: x ≠ 0. Проверка области определения нужна до подстановки чисел и решения уравнений, чтобы не использовать недопустимые значения.

Гипербола — график функции y = 1/x. Она состоит из двух отдельных ветвей: одна находится в первой четверти, другая — в третьей. Ветви приближаются к координатным осям, но не пересекают их. Знание формы гиперболы помогает узнавать график и проверять правильность построения.

Как это устроено

Отрицательные показатели превращаются в дроби по правилу x⁻ⁿ = 1/xⁿ, поэтому x⁻¹ = 1/x, а x⁻² = 1/x². В знаменателе не может стоять ноль: деление на ноль не имеет значения. Следовательно, x = 0 исключается из области определения обеих функций. Любое другое действительное число подставить можно.

Чтобы увидеть расположение графиков, составим таблицу значений для аргументов разных знаков. Для y = 1/x при x = −4, −2, −1 получаем соответственно −1/4, −1/2, −1, а при x = 1, 2, 4 — 1, 1/2, 1/4. Для y = 1/x² соответствующие значения равны 1/16, 1/4, 1 и 1, 1/4, 1/16. Точки удобно наносить попарно: это делает видимыми знаки значений и симметрию.

Симметрию можно проверить прямо по формуле. Для первой функции f(−x) = 1/(−x) = −1/x = −f(x), поэтому она нечётная; её график симметричен относительно начала координат. Для второй функции g(−x) = 1/(−x)² = 1/x² = g(x), поэтому она чётная и симметрична относительно оси y. Такие проверки показывают, какую часть графика достаточно построить, чтобы восстановить остальную.

При x > 0 значение 1/x положительно, а при x < 0 оно отрицательно: знак дроби совпадает со знаком знаменателя. Поэтому ветви y = 1/x находятся в первой и третьей четвертях. В формуле 1/x² знаменатель положителен при любом x ≠ 0, так что y всегда больше нуля. Значит, график второй функции целиком расположен выше оси x.

Когда x приближается к нулю, но не становится равным ему, знаменатель по модулю делается очень маленьким, а значения дробей — очень большими по модулю. Для 1/x знак такого роста зависит от стороны: слева значения отрицательны, справа положительны; у 1/x² они положительны с обеих сторон. При увеличении |x| знаменатели растут, поэтому значения стремятся к нулю, но не становятся нулём. Именно поэтому оси служат границами, к которым ветви приближаются, не пересекая их.

Свойства функций y = 1/x и y = 1/x²

В таблице собраны свойства, по которым удобно сравнивать формулы и графики. Сначала проверьте область определения и знак, затем чётность и промежутки изменения функции. При построении не соединяйте ветви через x = 0 и не проводите их по координатным осям.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 1/x найти область определения и вычислить значение при x = −2. Сначала проверим, какие значения аргумента допустимы, и лишь затем подставим данное число. Такой порядок помогает не пропустить ограничение, связанное со знаменателем. После подстановки упростим полученную дробь.

1. Знаменатель x не должен быть равен нулю, поэтому область определения: все действительные x, для которых x ≠ 0.
2. Число −2 допустимо, так как оно не равно нулю. Подставляем его: y = 1/(−2) = −1/2.

Ответ: область определения — все x ≠ 0; при x = −2 значение функции равно −1/2. Отрицательный результат согласуется со знаком аргумента: у функции y = 1/x знаки x и y совпадают. Такая проверка позволяет заметить ошибку, если при отрицательном x получилось положительное значение.

Задача 2. Построить график y = 1/x по таблице значений для x = −4, −2, −1, 1, 2, 4 и описать его симметрию. Подставим каждый аргумент в формулу, затем отметим точки. Для построения важно взять аргументы с обеих сторон от нуля, поскольку при x = 0 функция не определена. После нанесения точек учтём, как ведут себя ветви между ними.

1. Вычисляем значения: при x = −4, −2, −1 получаем y = −1/4, −1/2, −1; при x = 1, 2, 4 получаем y = 1, 1/2, 1/4.
2. Отмечаем точки (−4; −1/4), (−2; −1/2), (−1; −1), (1; 1), (2; 1/2), (4; 1/4) и плавно проводим две ветви.
3. Проверяем симметрию: точкам (x; y) соответствуют точки (−x; −y), поэтому график симметричен относительно начала координат.

Ответ: получается гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях. Оси координат она не пересекает, а точки с противоположными координатами расположены симметрично относительно начала. По таблице можно проверить и знаки: в первой четверти обе координаты положительны, в третьей — отрицательны.

Задача 3. Сравнить графики y = 1/x и y = 1/x², определить, где график первой функции ниже оси x, и найти x, при которых значение второй функции равно 1/4. Сначала сравним знаки функций, чтобы определить расположение графиков. Затем составим уравнение для второй функции и учтём ограничение x ≠ 0. Проверим найденные числа подстановкой.

1. График y = 1/x ниже оси x там, где значение отрицательно, то есть при x < 0. При x > 0 он выше оси.
2. Решаем уравнение 1/x² = 1/4. Перемножаем: x² = 4, откуда x = −2 или x = 2.
3. Оба числа допустимы, поскольку не равны нулю. Проверка даёт 1/(−2)² = 1/4 и 1/2² = 1/4.

Ответ: график y = 1/x находится ниже оси x при x < 0; равенство y = 1/4 для функции y = 1/x² выполняется при x = −2 и x = 2. Два решения возникают потому, что квадрат противоположных чисел одинаков. Это также согласуется с симметрией графика y = 1/x² относительно оси y.

Типичные ошибки

Ошибка: включать x = 0 в область определения. Её допускают, если смотрят только на набор возможных чисел и забывают о знаменателе. Проверка проста: подставьте ноль в формулу и убедитесь, что деление на ноль невозможно. Поэтому в обеих областях определения нужно явно указать условие x ≠ 0.

Ошибка: считать, что 1/x² отрицательно при x < 0. Обычно путают знак самого x со знаком знаменателя, хотя отрицательное число после возведения в квадрат становится положительным. Чтобы проверить себя, возьмите, например, x = −2: тогда x² = 4, а 1/x² = 1/4. Значение функции не может быть отрицательным ни при каком допустимом аргументе.

Ошибка: менять местами симметрии двух графиков. Равенство f(−x) = −f(x) указывает на нечётность и симметрию относительно начала координат, а равенство f(−x) = f(x) — на чётность и симметрию относительно оси y. Подставьте −x в формулу: для 1/x знак результата меняется, а для 1/x² — нет. Такая проверка надёжнее, чем запоминание только по виду графика.

Ошибка: считать, что график проходит по осям или пересекает их. Путают приближение ветвей к осям с пересечением, хотя в точке на оси y потребовалось бы x = 0, а пересечение с осью x потребовало бы y = 0. Ни одно из этих условий не выполняется для рассматриваемых формул. Проверьте это по области определения и уравнению 1/x = 0 или 1/x² = 0: решений нет.

Связь с другими темами

Для изучения этих функций нужно знать свойства степеней с отрицательным показателем и помнить, что на ноль делить нельзя. Построение графиков связывает вычисление значений функции с координатной плоскостью и помогает решать уравнения и неравенства графическим способом. Проверка равенств f(−x) = f(x) и f(−x) = −f(x) знакомит с понятиями чётной и нечётной функции. Эти признаки объясняют симметрию графиков через формулы.

Что запомнить

• x⁻¹ = 1/x, а x⁻² = 1/x².
• Для обеих функций x = 0 не входит в область определения.
• Множество значений y = 1/x — все ненулевые числа.
• Значения функции y = 1/x² всегда положительны.
• Функция y = 1/x нечётная, а функция y = 1/x² чётная.
• Графики обеих функций не пересекают координатные оси.