43. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Определения и обозначения

Отклонение от среднего арифметического — это разность между отдельным значением ряда и средним значением всего ряда. Если значение обозначено xᵢ, а среднее — x̄, отклонение записывают как xᵢ − x̄. Значение выше среднего даёт положительное отклонение, ниже среднего — отрицательное. Эта разность показывает, в какую сторону и насколько далеко отдельное значение отстоит от центра ряда.

Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений значений ряда от их среднего арифметического. Для n значений x₁, x₂, …, xₙ её можно записать так: D = ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n, где x̄ — среднее ряда, а n — число значений. Сначала каждое значение сравнивают со средним, затем отклонения возводят в квадрат и усредняют. Дисперсия нужна, чтобы выразить общую величину разброса числом, а не описывать каждое отклонение отдельно.

Среднее квадратичное отклонение — квадратный корень из дисперсии: σ = √D. Оно показывает типичную величину разброса относительно среднего, но, в отличие от дисперсии, выражается в тех же единицах, что и исходные данные. Например, если ряд содержит длины в сантиметрах, среднее квадратичное отклонение также будет в сантиметрах. Этот показатель удобно истолковывать вместе со значениями ряда, потому что его единицы привычны и понятны.

Как это устроено

Сначала находят среднее арифметическое ряда: складывают все его значения и делят сумму на их количество. Оно служит точкой отсчёта, потому что позволяет оценивать положение каждого значения относительно общего центра. Без этой точки нельзя определить, какие значения отклоняются далеко, а какие находятся близко. Например, одно и то же число может быть выше среднего в одном ряду и ниже среднего в другом.

Затем для каждого значения находят отклонение от среднего: из значения вычитают среднее арифметическое. Если значение больше среднего, результат будет положительным, а если меньше — отрицательным. Простое среднее таких отклонений не подходит для оценки разброса: положительные и отрицательные числа способны взаимно уничтожиться. Поэтому отклонения возводят в квадрат: после этого их знаки становятся неотрицательными, но величина расстояния от среднего сохраняется.

Когда квадраты отклонений найдены, их складывают и делят на количество значений. Полученное число — дисперсия, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений. Большие отклонения влияют на результат особенно заметно, потому что при возведении в квадрат они увеличиваются сильнее малых. Поэтому ряд с несколькими далёкими от среднего значениями может иметь большую дисперсию, даже если большинство значений расположено близко к центру.

Дисперсия выражена в квадратных единицах исходных данных: например, при измерении длины в сантиметрах она получается в квадратных сантиметрах. Такой результат не всегда удобно сопоставлять с самими длинами. Чтобы получить меру разброса в привычных единицах, из дисперсии извлекают квадратный корень. Так получают среднее квадратичное отклонение σ = √D.

Для сравнения разброса двух рядов вычисляют их дисперсии или средние квадратичные отклонения и сопоставляют результаты. Если показатели у одного ряда больше, его значения в целом сильнее разбросаны около собственного среднего. Сначала полезно проверить средние: одинаковые средние помогают наглядно сравнить разброс, но сами по себе ничего о нём не говорят. Если единицы измерения рядов различаются, сравнение требует особой осторожности.

Как вычислить и истолковать дисперсию и среднее квадратичное отклонение

Пользуйся таблицей как планом вычислений: переходи к следующей строке только после того, как завершён предыдущий шаг. При сравнении рядов сопоставляй именно показатели разброса, а не средние. Если в задаче спрашивают среднее квадратичное отклонение, после нахождения дисперсии обязательно извлеки квадратный корень.

Разбор задач

Для ряда 2, 4, 6 найдём среднее арифметическое и дисперсию. Сначала определим центр ряда, а затем сравним с ним каждое значение. Такой порядок помогает не спутать отклонения со значениями ряда. Все вычисления выполним последовательно.

1. Найдём среднее: x̄ = (2 + 4 + 6) / 3 = 4.
2. Найдём отклонения: 2 − 4 = −2, 4 − 4 = 0, 6 − 4 = 2. Значения по разные стороны от среднего дают отклонения разных знаков.
3. Возведём их в квадрат: (−2)² = 4, 0² = 0, 2² = 4.
4. Найдём среднее квадратов: D = (4 + 0 + 4) / 3 = 8/3.

Ответ: среднее арифметическое равно 4, дисперсия равна 8/3. Равные по величине отклонения крайних значений дают одинаковые квадраты, а значение в центре не увеличивает дисперсию.

Для ряда 1, 3, 5, 7 найдём дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Среднее здесь удобно проверить по симметрии: пары крайних значений расположены на одинаковом расстоянии от 4. Но всё равно запишем вычисления отклонений, чтобы определить дисперсию без пропусков.

1. Среднее: x̄ = (1 + 3 + 5 + 7) / 4 = 4.
2. Отклонения: −3, −1, 1, 3; их квадраты: 9, 1, 1, 9.
3. Дисперсия: D = (9 + 1 + 1 + 9) / 4 = 20/4 = 5.
4. Среднее квадратичное отклонение: σ = √5 ≈ 2,24.

Ответ: D = 5, σ = √5 ≈ 2,24. Данные заданы без указания единиц, поэтому отклонение выражено в тех же условных единицах, что и значения ряда; дисперсия соответствует квадрату этих единиц.

Сравним результаты групп A: 4, 5, 5, 6 и B: 2, 4, 6, 8. Сначала проверим средние: если они одинаковы, можно отдельно сопоставить, насколько далеко значения каждой группы уходят от общего центра. Так сравнение покажет именно разброс, а не различие положения рядов.

1. Для A среднее равно (4 + 5 + 5 + 6) / 4 = 5. Отклонения −1, 0, 0, 1, их квадраты 1, 0, 0, 1; Dₐ = 2/4 = 0,5.
2. Для B среднее равно (2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 5. Отклонения −3, −1, 1, 3, их квадраты 9, 1, 1, 9; Dᵦ = 20/4 = 5.
3. Сравним дисперсии: 5 больше 0,5. Значит, значения группы B в среднем сильнее удалены от среднего 5.

Ответ: средние групп одинаковы, но разброс результатов больше у группы B. Это видно и по дисперсиям, и по самим отклонениям: у группы B они по величине больше.

Типичные ошибки

Первая ошибка — усреднять сами отклонения. Их сумма может оказаться нулевой: положительные отклонения компенсируют отрицательные, хотя значения в действительности разбросаны. Так поступают, потому что обычное среднее кажется естественным способом обобщения. Проверь себя: в формуле дисперсии должны стоять квадраты отклонений, а не сами отклонения.

Вторая ошибка — возводить в квадрат значения ряда, а не разности между ними и средним. Тогда считается другая величина, не показывающая расстояние значений от центра. Путаница возникает, если пропустить этап нахождения среднего. Проверь каждый член суммы: сначала должно быть выражение вида xᵢ − x̄, и только потом — его квадрат.

Третья ошибка — оставить ответ в виде дисперсии, когда требуется среднее квадратичное отклонение. Эти показатели связаны, но не равны: из дисперсии нужно извлечь квадратный корень. Ошибка часто появляется потому, что оба числа характеризуют разброс. Проверь формулировку вопроса и единицы измерения: отклонение должно быть в исходных единицах, дисперсия — в их квадратах.

Четвёртая ошибка — считать, что больший разброс означает большее среднее. Среднее показывает, где расположен центр ряда, а дисперсия — насколько далеко значения от него расходятся. Эти характеристики могут меняться независимо, поэтому ошибка возникает при смешении двух разных вопросов. Проверь себя: для положения сравни средние, для разброса — дисперсии или средние квадратичные отклонения.

Связь с другими темами

Для вычисления дисперсии нужны навыки, изученные при работе со средним арифметическим: складывать значения ряда и делить сумму на их количество. Также понадобятся вычисление разностей и возведение чисел в квадрат. Если эти действия выполняются уверенно, формула дисперсии превращается в последовательность знакомых шагов.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение применяются при анализе статистических данных. С их помощью сравнивают изменчивость результатов разных групп, например баллов или измерений. Средние могут совпадать, но показатели разброса покажут, насколько равномерно распределены значения вокруг центра.

Что запомнить

• Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего.
• Отклонение каждого значения считают относительно среднего арифметического ряда.
• Квадраты отклонений неотрицательны.
• Среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии.
• Среднее квадратичное отклонение выражено в тех же единицах, что и исходные данные.
• Чем больше дисперсия или среднее квадратичное отклонение, тем сильнее разброс значений около среднего.