§12 Начальные сведения из теории вероятностей.

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее нельзя точно предсказать, хотя возможные результаты известны. Например, при броске кубика неизвестно, какое число выпадет, но известно, что возможны числа от 1 до 6. Понятие опыта помогает отделить то, что может случиться, от того, что мы уже знаем о возможных результатах.

Случайное событие — утверждение о результате опыта, которое может произойти или не произойти. Событие достоверно, если оно происходит при любом исходе, и невозможно, если не происходит ни при одном; случайное событие возможно, но не обязательно. Это различие нужно, чтобы понимать, какие результаты считать подходящими для события.

Равновозможные исходы — исходы, у которых одинаковые шансы наступить. У правильного кубика при броске шесть равновозможных результатов, а у неправильного кубика шансы могут различаться. Равенство шансов необходимо для простой формулы вероятности: без него количества исходов недостаточно для сравнения событий.

Вероятность события при конечном числе равновозможных исходов — отношение числа исходов, благоприятных событию, к числу всех исходов. Если событию A благоприятствуют m исходов из n, записывают P(A) = m/n. Такое определение позволяет выразить шанс события числом от 0 до 1.

Как это устроено

Сначала для опыта составляют перечень всех возможных исходов. Например, у броска кубика это 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Перечень должен охватывать каждый возможный результат, иначе часть вариантов не попадёт в расчёт; повторы тоже недопустимы, потому что один и тот же исход тогда будет учтён несколько раз.

Затем событию сопоставляют множество исходов, при которых оно происходит. Для события «выпало число больше 4» на кубике это исходы 5 и 6. Такие исходы называют благоприятными для события, а остальные — неблагоприятными; проверка каждого результата по условию помогает не пропустить подходящий вариант и не включить лишний.

Если всего имеется n исходов и они равновозможны, а событию A благоприятствуют m из них, то P(A) = m/n. Отношение показывает, какую часть всех одинаково вероятных вариантов занимают подходящие. Формулу нельзя применять только на том основании, что исходов посчитано поровну: сначала требуется убедиться, что шансы у них действительно одинаковы.

Достоверное событие включает все возможные исходы, поэтому для него m = n и P(A) = 1. Невозможному событию не благоприятствует ни один исход, значит, m = 0 и P(A) = 0. Так как число благоприятных исходов не может быть меньше нуля или больше общего числа исходов, для любого события выполняется 0 ≤ P(A) ≤ 1.

В реальной серии опытов число наступлений события может не совпасть с тем, чего ожидали по теоретической вероятности: случайные результаты меняются от опыта к опыту. Относительная частота — это доля опытов, в которых событие произошло, среди всех проведённых опытов. При большом числе повторений она обычно становится ближе к вероятности, хотя точное совпадение не гарантируется.

События и их вероятности

Пользуйся таблицей так: сначала определи вид события, затем выясни, равновозможны ли исходы. Если да, посчитай общее число и число благоприятных исходов. В конце проверь, что результат лежит от 0 до 1.

Разбор задач

Бросок кубика

При одном броске правильного игрального кубика найти вероятность выпадения числа 5.

1. Возможные исходы — числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6, всего n = 6.
2. Правильный кубик даёт равные шансы каждому числу, поэтому исходы равновозможны. Событию благоприятствует только исход 5, значит, m = 1.
3. Подставим числа в формулу: P(A) = m/n = 1/6.

Ответ: 1/6. Среди шести одинаково вероятных результатов только один подходит условию.

Шары в коробке

В коробке находятся 4 красных и 6 синих одинаковых на ощупь шаров. Найти вероятность вынуть красный шар, а затем вероятность вынуть шар не красного цвета.

1. Всего шаров 4 + 6 = 10. Поскольку шары одинаковы на ощупь и выбираются наугад, каждый из них имеет одинаковый шанс быть вынутым.
2. Красных шаров 4, поэтому вероятность красного равна 4/10 = 2/5.
3. Шар не красного цвета здесь обязательно синий: таких шаров 6. Вероятность равна 6/10 = 3/5; также можно вычесть вероятность красного из 1: 1 − 2/5 = 3/5.

Ответ: вероятность красного шара — 2/5, не красного — 3/5. Числа благоприятных исходов для этих двух событий дополняют друг друга до 10.

Карточки с числами

Из карточек с числами от 1 до 20 наугад выбирают одну. Найти вероятность того, что число делится на 3 или на 5.

1. Всего 20 карточек, и выбор наугад даёт одинаковый шанс каждой. Среди чисел от 1 до 20 кратны 3 числа 3, 6, 9, 12, 15, 18 — всего 6.
2. Кратны 5 числа 5, 10, 15, 20 — всего 4. Число 15 делится и на 3, и на 5, поэтому при сложении его посчитали бы дважды.
3. Уберём один повтор: 6 + 4 − 1 = 9 благоприятных исходов. Тогда P(A) = 9/20.

Ответ: 9/20. Слово «или» включает числа, которые подходят хотя бы под одно условие, но каждый исход учитывается только один раз.

Типичные ошибки

Применять P(A) = m/n, не проверив равновозможность исходов. Одинаковое число возможных результатов не гарантирует одинаковые шансы: так бывает, например, при неправильном кубике. Ошибка возникает, когда считают только варианты, забывая о вероятности каждого из них. Перед вычислением проверь устройство опыта и условия выбора.

Неверно выбирать благоприятные исходы. Можно включить результат, который не удовлетворяет условию, или пропустить подходящий, особенно если список длинный. Причина обычно в том, что событие не перевели в точное условие для каждого результата. Составь перечень и проверь каждый исход отдельно.

При условии «или» складывать числа без проверки пересечения. Если один исход удовлетворяет обоим условиям, он окажется учтён дважды. Чтобы не допустить этого, перечисли совпадающие исходы и вычти их число из суммы либо составь общий список без повторов.

Получить вероятность меньше 0 или больше 1. Вероятность — доля благоприятных исходов среди всех, поэтому такие значения невозможны. Они обычно означают, что неверно выбрано общее число исходов или неправильно произведён подсчёт. Проверь, что 0 ≤ m ≤ n и что исходы в списке не повторяются.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны навыки подсчёта вариантов, работы с дробями и понимание отношения части к целому. Вероятность и относительная частота помогают анализировать наблюдения и эксперименты, поэтому эти понятия используются в статистике. Подсчёт исходов пригодится при изучении комбинаторики, а расчёты для повторяющихся и независимых опытов расширяют применение теории вероятностей.

Что запомнить

• Случайный опыт имеет заранее известные возможные исходы, но неизвестный заранее результат.
• Событие происходит тогда и только тогда, когда результат опыта относится к благоприятным для него исходам.
• Формулу P(A) = m/n применяют, когда все исходы равновозможны.
• Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного — 0.
• Для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• При большом числе повторений относительная частота события обычно приближается к его вероятности.