"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Относительная частота показывает, какую долю всех проведённых испытаний составляет число наступлений события. Чтобы её найти, считают, сколько раз событие произошло, и делят на общее число опытов. Полученное значение лежит от 0 до 1 и может быть выражено в процентах. Оно зависит от результатов конкретной серии, поэтому не всегда совпадает с вероятностью. При большом числе одинаковых испытаний относительная частота может становиться устойчивее и помогать оценивать шансы события.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Частота случайного события — число испытаний, в которых это событие произошло. Например, если при десяти бросках монеты герб выпал четыре раза, частота выпадения герба равна четырём. Она нужна, чтобы просто подсчитать, сколько раз наблюдался интересующий нас результат.
Относительная частота случайного события — отношение частоты события к общему числу проведённых испытаний. В примере с четырьмя выпадениями герба из десяти она равна 4/10. Такое отношение показывает, какую долю серии составили наступления события, и позволяет сравнивать серии разной длины.
Относительную частоту события A обозначают W(A) и вычисляют по формуле W(A) = m/n, где m — частота события A, а n — число испытаний. Например, если событие произошло семь раз в двадцати испытаниях, то W(A) = 7/20. Формула помогает не перепутать количество наступлений события с общим количеством опытов.
Статистическая вероятность — значение, к которому может приближаться относительная частота события при большом числе испытаний. Это не результат одного конкретного опыта, а оценка, основанная на многократных наблюдениях. Понятие помогает судить о вероятности по реальным результатам, когда теоретически вычислить её трудно.
Испытанием называют отдельный опыт, проведённый по заранее заданным условиям: например, один бросок монеты или один выстрел по мишени. Чтобы подсчитать относительную частоту, нужны несколько одинаковых испытаний, иначе не получится выделить серию и сравнить число наступлений события с её длиной. Условия важно сохранять одинаковыми, чтобы результаты относились к одному и тому же событию и опыту.
Сначала выбирают событие A и считают, сколько раз оно произошло; это число обозначают m. Затем определяют общее количество испытаний n и делят m на n. Такой порядок нужен потому, что относительная частота отвечает на вопрос, какую часть всех опытов составляют удачные для события результаты. Например, при 12 попаданиях в 20 выстрелах получаем W(A) = 12/20 = 0,6.
Относительная частота не зависит от единиц измерения: это отношение двух чисел, посчитанных в одной серии. Она не может быть меньше нуля, потому что число наступлений события неотрицательно, и не может быть больше единицы, потому что событие не способно произойти чаще, чем проводились испытания. Поэтому всегда выполняется 0 ≤ m/n ≤ 1. Крайние значения возможны: ноль означает, что событие не произошло ни разу, а единица — что оно произошло каждый раз.
В длинной серии результаты отдельных испытаний могут частично сглаживать друг друга, поэтому относительная частота часто меняется не так резко, как в короткой. Например, один дополнительный успех заметно меняет долю в пяти опытах, но гораздо слабее влияет на долю в тысяче опытов. Поэтому при увеличении числа испытаний относительная частота может становиться устойчивее. Это наблюдение помогает оценивать вероятность события по эксперименту.
В конечной серии относительная частота определяется конкретными результатами, а вероятность — свойством события в заданных условиях. Поэтому эти величины не обязаны совпадать: случайность может привести к необычному числу успехов в небольшой серии. Если испытания повторить, получится другая относительная частота. При большом числе опытов она может приближаться к вероятности, но это не означает, что каждая серия даст одно и то же значение.
| Характеристика | Частота события A | Относительная частота события A |
|---|---|---|
| Что показывает | Сколько раз произошло событие A | Какую долю испытаний составили случаи наступления A |
| Как обозначается | m | W(A) |
| Как вычисляется | Подсчётом наступлений A | W(A) = m/n |
| Возможные значения | Целое число от 0 до n | Число от 0 до 1 включительно |
| Зависимость от числа испытаний | Может меняться при изменении серии | Зависит от результатов и длины серии; при большом числе испытаний может становиться устойчивее |
Чтобы выбрать нужный столбец, сначала спросите себя, требуется ли число наступлений события или доля от всех опытов. Для относительной частоты нужны и частота m, и число испытаний n. Проверяйте, что ответ для неё находится между нулём и единицей.
Монету подбросили 20 раз, герб выпал 11 раз. Найдите частоту и относительную частоту выпадения герба. Событие A — «выпал герб»; в условии уже указано, сколько раз оно произошло и сколько всего было испытаний. Поэтому сначала запишем эти два числа отдельно.
Ответ: частота равна 11, относительная частота равна 11/20 = 0,55. Частота здесь не равна 0,55: это число случаев, а 0,55 — отношение к общему числу бросков. Такой разбор помогает не смешивать две величины.
В 80 выстрелах по мишени зарегистрировано 68 попаданий. Найдите относительную частоту попадания и выразите её в процентах. Событие A — попадание; его частота составляет 68, а число испытаний равно 80. Чтобы получить относительную частоту, нужно разделить число попаданий на число выстрелов.
Ответ: относительная частота попадания равна 0,85, или 85%. Процентная запись означает, что попадания составили 85 из каждых 100 выстрелов в пересчёте. Доля не превышает единицу, значит, результат согласуется с возможными границами относительной частоты.
В первой серии из 50 испытаний событие произошло 18 раз, во второй из 150 — 57 раз. Сравните относительные частоты и поясните, можно ли утверждать, что они всегда одинаковы. Нельзя сравнивать только числа 18 и 57: серии имеют разную длину. Для каждой серии отдельно найдём долю наступлений события.
Ответ: относительная частота первой серии равна 0,36, второй — 0,38; они не одинаковы. По двум сериям нельзя утверждать, что относительные частоты всегда совпадают: при новых испытаниях результат может измениться. Эти наблюдения также не доказывают, что вероятность события равна одному из полученных значений.
Ошибка: называть отношением m/n частоту. Её допускают, потому что оба понятия связаны с подсчётом наступлений события. Проверка простая: частота — целое число случаев, а дробь или десятичное число, полученное делением на n, — относительная частота.
Ошибка: делить общее число испытаний на число наступлений события. Так можно перепутать числитель и знаменатель, особенно если условие сообщает числа в другом порядке. Проверьте смысл: относительная частота показывает долю наступлений, поэтому в формуле сверху стоит m, а снизу — n.
Ошибка: считать, что относительная частота обязана равняться вероятности. Такое ожидание возникает, если принять результат наблюдений за неизменное свойство события. Вспомните, что частота зависит от конкретной серии; проверьте себя, спросив, совпадают ли результаты разных серий обязательно. Нет, совпадение не гарантировано.
Ошибка: записывать относительную частоту больше 1 или меньше 0. Это невозможно, так как m — число случаев от 0 до n. Если вычисление вышло за границы, проверьте, не перепутаны ли m и n, правильно ли выполнено деление и не ошиблись ли вы при переводе в проценты.
Для работы с относительной частотой нужно знать, что такое случайное событие и испытание: без этого нельзя определить, что именно считать и какие опыты включать в серию. Также пригодится умение находить отношение двух чисел и переводить десятичные дроби в проценты. Эти навыки позволяют записывать результат разными способами и понимать его смысл.
Относительная частота связывает наблюдения с понятием вероятности. Если вероятность нельзя найти непосредственно, результаты большого числа испытаний помогают оценить шансы события. Такая оценка называется статистической вероятностью и опирается на устойчивость относительной частоты, а не на один отдельный опыт.
Чем частота события отличается от относительной частоты?
Частота — это число испытаний, в которых событие произошло. Относительная частота — это отношение этого числа к общему количеству испытаний.
Почему относительную частоту делят на число всех испытаний?
Так мы узнаём, какую часть серии составляет число наступлений события. Благодаря делению можно сравнивать результаты серий разной длины.
Может ли относительная частота быть равна нулю или единице?
Да. Она равна нулю, если событие ни разу не произошло, и единице, если оно произошло в каждом испытании.
Почему относительная частота не всегда равна вероятности события?
Относительная частота вычисляется по результатам конечной серии и зависит от того, как прошли именно эти испытания. Вероятность характеризует событие в заданных условиях, а не отдельный набор результатов.
Что означает устойчивость относительной частоты при большом числе испытаний?
Это означает, что при повторении большого числа одинаковых испытаний значение относительной частоты часто меняется меньше, чем в коротких сериях. Оно может приближаться к вероятности события, но совпадение не гарантируется в каждой серии.
Относительная частота случайного события
