§8. Неравенства с двумя переменными и их системы

Определения и обозначения

Неравенство с двумя переменными — это неравенство, в котором участвуют две переменные, обычно обозначаемые x и y. Например, x + y > 2. Оно нужно, чтобы описывать условие сразу для пары величин: выяснять, какие значения одной переменной подходят при разных значениях другой.

Решение неравенства с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой неравенство становится верным. Например, для x + y > 2 пара (1; 2) подходит, потому что 1 + 2 > 2. Проверка подстановкой помогает отличить подходящую пару от неподходящей.

Графическое изображение множества решений — область координатной плоскости, состоящая из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству. Это наглядный способ показать сразу все подходящие пары, а не перечислять их по одной. Каждая точка области соответствует отдельному решению.

Система неравенств с двумя переменными — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Её решением будет пара чисел, удовлетворяющая каждому неравенству системы. Графически такие решения составляют общую часть областей, отвечающих отдельным условиям.

Как это устроено

Пара чисел (a; b) задаёт точку на координатной плоскости: первое число отмечают на оси x, второе — на оси y. Поэтому проверка, является ли точка решением, сводится к подстановке её координат в неравенство. Если после подстановки получается верное числовое утверждение, точка подходит; если ложное — не подходит. Так координатное изображение напрямую связывает геометрию с вычислениями.

Чтобы найти границу области, знак неравенства заменяют знаком равенства. Например, у неравенства x + y > 2 граница задаётся уравнением x + y = 2, то есть прямой. На этой прямой выражение находится ровно на границе между значениями, при которых исходное сравнение верно, и теми, при которых оно неверно. Сама граница разделяет плоскость на части, поэтому после её построения остаётся выяснить, какая из них подходит.

Для выбора стороны берут контрольную точку, которая не лежит на границе, и проверяют её координаты в исходном неравенстве. Удобно выбирать точку с простыми координатами, например (0; 0), если она не принадлежит границе. Если проверка даёт верное утверждение, решения находятся в полуплоскости с этой точкой; иначе нужна противоположная полуплоскость. Проверка нужна потому, что один и тот же вид границы может ограничивать область решений с разных сторон.

Равенство на границе означает, что точки этой линии удовлетворяют исходному условию только тогда, когда знак допускает равенство. При знаках ≥ и ≤ граничные точки включаются, поэтому линию проводят сплошной. При строгих знаках > и < границу не включают и обычно показывают пунктиром. Это различие позволяет по чертежу понять, входят ли точки линии в множество решений.

В системе каждое неравенство задаёт свою область, и подходящая точка должна находиться во всех этих областях сразу. Поэтому оставляют только их общую часть — пересечение, а не всю территорию, покрытую хотя бы одной областью. При построении сначала отмечают каждую область отдельно, учитывая её границу, затем находят участок, общий для всех условий. Именно точки этого участка и составляют решение системы.

Графическое изображение решений неравенств и систем

Сначала определите уравнение границы и нанесите её график, а затем по контрольной точке выберите сторону. После этого проверьте знак: он подскажет, рисовать линию сплошной или пунктирной. Для системы повторите действия для каждого условия и оставьте только общую область.

Разбор задач

Проверка пары и построение области

Проверить, является ли пара (1; 2) решением неравенства x + y > 2, и изобразить множество его решений.

1. Подставим x = 1 и y = 2: получим 1 + 2 > 2, то есть 3 > 2. Утверждение верно, значит пара является решением.
2. Заменим знак неравенства равенством: x + y = 2. Это прямая, которую можно построить, например, по точкам (2; 0) и (0; 2).
3. Чтобы выбрать сторону, проверим точку (0; 0): 0 + 0 > 2 — неверно. Значит, нужна полуплоскость по другую сторону прямой, чем начало координат.
4. Знак строгий, поэтому точки прямой не входят в решение и границу следует изобразить пунктиром.

Ответ: пара (1; 2) — решение; множество решений — полуплоскость со стороны, не содержащей начало координат, без прямой x + y = 2.

Неравенство с параболой

Построить множество решений неравенства y ≤ x² − 1.

1. Граница задаётся уравнением y = x² − 1. Это парабола с вершиной (0; −1), ветви которой направлены вверх.
2. Возьмём контрольную точку (0; 0), не лежащую на параболе. Подстановка даёт 0 ≤ −1, это неверно, поэтому верхнюю сторону графика выбирать нельзя.
3. Подходят точки ниже параболы. Поскольку знак ≤ допускает равенство, сама парабола входит в множество решений и проводится сплошной линией.

Ответ: область под параболой y = x² − 1 вместе с самой параболой.

Система неравенств

Изобразить множество решений системы y ≥ x² − 1, y < 2x + 2 и определить, принадлежит ли ему точка (0; 0).

1. Первая граница — парабола y = x² − 1. Неравенство требует область не ниже неё, а из-за знака ≥ парабола включается и рисуется сплошной линией.
2. Вторая граница — прямая y = 2x + 2. Нужно выбрать область ниже неё; знак < строгий, поэтому прямую рисуют пунктиром.
3. Решением системы будет участок, который одновременно находится не ниже параболы и ниже прямой. Для проверки точки (0; 0) подставим координаты в оба условия.
4. Первое условие даёт 0 ≥ −1 — верно, второе даёт 0 < 2 — тоже верно. Следовательно, точка удовлетворяет обоим неравенствам и принадлежит общей области.

Ответ: общая часть области над параболой с включённой границей и области под прямой без включения границы; точка (0; 0) входит в решение.

Типичные ошибки

Иногда за решение принимают только одну найденную пару. Так происходит, когда проверку примера путают с описанием всех решений, хотя обычно подходит много пар. Чтобы проверить себя, постройте область или попробуйте найти ещё одну пару, удовлетворяющую условию.

Другая ошибка — выбирать полуплоскость по одному лишь знаку, не проверяя контрольную точку. Это легко приводит к штриховке противоположной стороны, особенно если граница не горизонтальна. Подставьте координаты точки, не лежащей на границе: результат сразу покажет, подходит ли выбранная сторона.

Строгие и нестрогие неравенства порой изображают одинаково, потому что забывают о равенстве на границе. Но при > и < граничные точки не подходят, а при ≥ и ≤ подходят. Проверьте, удовлетворяют ли координаты точки границы исходному неравенству, и выберите пунктирную или сплошную линию.

При построении системы иногда объединяют области, оставляя все точки, которые подходят хотя бы одному условию. Такая область слишком велика: системе требуется выполнение всех неравенств сразу. Проверьте любую оставленную точку подстановкой во все условия — если хотя бы одно неверно, точка не является решением.

Связь с другими темами

Для построения областей нужны навыки работы с координатной плоскостью, линейными функциями и параболами. Также важно уметь находить координаты точек и подставлять числа в выражения: это используется и при проверке решений, и при выборе нужной стороны границы. Поэтому графики и вычисления здесь дополняют друг друга.

Графическое решение систем помогает видеть, какие условия совместимы и какие значения переменных допустимы одновременно. Этот способ пригодится при изучении систем уравнений и неравенств, а также в задачах с ограничениями на переменные. На рисунке можно оценить форму и расположение множества подходящих пар.

Что запомнить

• Решение неравенства с двумя переменными — пара чисел.
• Граница области решений задаётся соответствующим уравнением.
• Контрольная точка помогает выбрать нужную сторону границы.
• Строгому неравенству соответствует граница, не входящая в решение.
• Нестрогое неравенство включает границу.
• Решение системы — пересечение множеств решений её неравенств.