Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Определения и обозначения

Математическая модель задачи — система уравнений, составленная по условиям задачи. Неизвестные в ней обозначают буквами, а искомые величины связывают с ними формулами. Такая запись помогает перейти от рассказа к вычислениям. Например, если нужно найти два числа, удобно обозначить их x и y.

Система уравнений второй степени — система, в которой хотя бы одно уравнение является уравнением второй степени относительно неизвестных. В неё может входить и уравнение первой степени. Например, система x + y = 11, xy = 24 содержит линейное уравнение и уравнение второй степени. Такой тип системы позволяет учесть несколько связей между величинами.

Решение системы — пара значений неизвестных, одновременно удовлетворяющая всем уравнениям системы. Если пара подходит только одному уравнению, решением всей системы она не является. Это определение нужно помнить при проверке вычислений. Значения x и y проверяют вместе, а не по отдельности.

Постороннее решение — решение полученной системы, которое не подходит исходной задаче из-за её условий или ограничений. Так бывает, например, если система дала отрицательную длину. Уравнения при этом могут выполняться, но сама величина не имеет подходящего смысла в задаче. Поэтому после решения проверяют не только вычисления, но и смысл найденных чисел.

Как это устроено

Сначала определяют, какие величины нужно найти, и обозначают их буквами. Хороший выбор неизвестных позволяет выразить через них остальные величины из условия, поэтому уравнений получается меньше и они проще. Например, если длина на 2 см больше ширины, можно обозначить ширину через x, а длину сразу записать как x + 2. Перед составлением системы полезно проверить, что выбранные буквы действительно описывают нужные величины.

Затем каждую отдельную связь между величинами переводят в уравнение. Сумма двух чисел записывается как x + y, разность — как x − y, а произведение — как xy. В задачах о движении связь расстояния, скорости и времени задаёт формула s = vt; в задачах о площади прямоугольника используется произведение сторон. Раздельная запись условий помогает не потерять ни одно данное и увидеть, почему нужны несколько уравнений.

Уравнение второй степени появляется, когда условие связывает произведение неизвестных или квадрат величины. Например, площадь прямоугольника со сторонами x и y записывается как xy, а сумма квадратов — как x² + y². Здесь важно перенести в формулу именно ту связь, которая сказана в условии: произведение не заменять суммой, а квадрат не путать с удвоенным числом. После записи стоит прочитать формулу словами и сверить её с задачей.

Составленную систему решают алгебраическими способами, знакомыми по предыдущим темам. При подстановке из одного уравнения выражают неизвестную и подставляют её в другое; сложение удобно, если слагаемые можно сократить. Иногда помогает замена переменной, если в выражениях повторяется одна и та же часть. Способ выбирают так, чтобы вычисления стали проще, а при преобразованиях следят, не потерялись ли возможные решения.

После решения проверяют каждую пару по исходным уравнениям и условиям задачи. Это нужно потому, что некоторые корни могут противоречить ограничениям: длина должна быть положительной, а число предметов обычно целое. Если пара прошла проверку, ответ записывают словами и добавляют единицы измерения, когда они нужны. Так алгебраический результат превращается в ответ на вопрос задачи.

Этапы решения текстовой задачи системой уравнений второй степени

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, когда можешь ответить на контрольный вопрос. Если проверка не проходит, вернись к записи условий или вычислениям. Такая сверка помогает найти ошибку до того, как будет записан ответ.

Разбор задач

Задача 1. Сумма двух чисел равна 11, а их произведение равно 24. Найти числа. Оба условия относятся к одним и тем же неизвестным, поэтому обозначим числа x и y и запишем систему из двух уравнений. Произведение даст уравнение второй степени.

1. Составим систему: x + y = 11, xy = 24.
2. Из первого уравнения выразим y = 11 − x и подставим во второе: x(11 − x) = 24. Получаем x² − 11x + 24 = 0, то есть (x − 3)(x − 8) = 0.
3. Значит, x = 3 или x = 8. Из суммы следует, что второе число соответственно равно 8 или 3. Проверка: в каждой паре сумма равна 11, произведение — 24.

Ответ: 3 и 8.

Задача 2. Площадь прямоугольника равна 48 см², а длина на 2 см больше ширины. Найти стороны. Обозначим ширину через x, тогда длина равна x + 2. Поскольку площадь равна произведению сторон, получим уравнение второй степени.

1. Запишем условие площади: x(x + 2) = 48, или x² + 2x − 48 = 0.
2. Разложим на множители: (x − 6)(x + 8) = 0. Получаем x = 6 или x = −8.
3. Ширина не может быть отрицательной, поэтому значение −8 отбрасываем. При ширине 6 см длина равна 6 + 2 = 8 см; площадь 6 · 8 = 48 см².

Ответ: ширина 6 см, длина 8 см.

Задача 3. Два велосипедиста одновременно выехали из пункта A в противоположных направлениях. Через 2 ч расстояние между ними стало 60 км, а произведение их скоростей равно 216 км²/ч². Найти скорости. При движении в разные стороны расстояние между велосипедистами складывается из пройденных ими путей. Обозначим скорости через x и y.

1. За 2 ч велосипедисты вместе удалились на 60 км, поэтому 2x + 2y = 60, то есть x + y = 30. Второе условие даёт xy = 216.
2. Подставим y = 30 − x в уравнение произведения: x(30 − x) = 216. Получим x² − 30x + 216 = 0, или (x − 12)(x − 18) = 0.
3. Скорости равны 12 и 18 км/ч в любом порядке. Обе положительны; их сумма равна 30, а произведение — 216, поэтому выполнены оба условия задачи.

Ответ: 12 км/ч и 18 км/ч.

Типичные ошибки

Составляют только одно уравнение, хотя в условии есть две независимые связи. Так происходит, когда замечают лишь первое или самое очевидное данное; тогда обычно нельзя определить обе неизвестные однозначно. Проверь себя: каждому условию, которое связывает величины, должно соответствовать уравнение. Если уравнений меньше, подумай, не пропущена ли связь.

Неверно переводят словесное отношение в алгебраическое: например, разность принимают за сумму или перемножают величины, которые в условии складываются. Причина часто в том, что формулу записывают слишком быстро, не проговорив условие. Проверка проста: прочитай выражение вслух и сопоставь его со словами задачи. Например, «на 2 больше» означает x + 2, а не 2x.

При решении системы теряют одну пару корней или допускают ошибку при подстановке. Это возможно, если найден один корень квадратного уравнения и второй не проверен, либо вычисления ведутся без сверки. Подставь каждую пару во все уравнения системы, а не только в последнее. Если хотя бы одно равенство неверно, решение нужно пересмотреть.

Оставляют в ответе значения, невозможные по смыслу задачи, например отрицательную длину или дробное число предметов. Обычно это случается, когда считают, что любой корень уравнения автоматически является ответом. Сверь каждое значение с ограничениями и вопросом задачи. Неподходящий корень укажи как отброшенный, а ответ сформулируй только из допустимых значений.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны навыки обозначения неизвестных, перевода условий в уравнения и решения систем линейных уравнений. Также пригодятся формулы квадратного уравнения, разложение на множители и проверка корней подстановкой. Эти умения позволяют перейти от составленной модели к численному ответу. Приём математического моделирования используется не только в задачах о числах, но и в задачах на движение, работу и геометрические величины.

Что запомнить

• Неизвестные выбирают так, чтобы условия было удобно записать.
• Каждое уравнение системы должно отражать отдельное условие задачи.
• Решение системы — пара значений, подходящая одновременно ко всем уравнениям.
• При преобразованиях системы нужно сохранять её решения или отдельно проверять возможные потери и появление лишних корней.
• Не всякое решение системы подходит исходной задаче.
• Ответ формулируют после проверки найденных значений по смыслу и условиям.