Решение систем уравнений второй степени

Определения и обозначения

Система уравнений второй степени — система, в которой хотя бы одно уравнение содержит переменные во второй степени, а степень каждого уравнения не выше второй. Например, x² + y² = 25 и y = x + 1 образуют такую систему. Это определение помогает отличить тему от систем, где встречаются степени выше второй.

Решение системы — упорядоченная пара значений переменных, при подстановке которой каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Например, пара (x; y) задаёт конкретное значение каждой переменной, причём порядок важен. Это понятие нужно, чтобы не принять решение одного уравнения за решение всей системы.

Равносильные системы — системы, имеющие один и тот же набор решений. При решении удобно заменять исходную систему равносильной, если преобразование сохраняет все подходящие пары. Это позволяет упростить вычисления, не теряя решений и не добавляя лишних.

Как это устроено

Решить систему — значит найти все пары значений, которые подходят сразу к обоим уравнениям. У каждого уравнения по отдельности может быть много решений, но общими будут только те пары, которые удовлетворяют им одновременно. Поэтому после преобразований проверяют, что пара обращает в верные равенства оба исходных уравнения. Такая проверка особенно полезна, если по ходу решения возводили выражения в квадрат или делили на выражение с переменной.

Подстановка особенно удобна, когда одно уравнение уже выражает переменную или позволяет легко это сделать. Например, из y = x + 1 сразу известно, чем заменить y в другом уравнении. После подстановки вместо двух переменных остаётся одна, и обычно получается квадратное уравнение. Решив его, находят соответствующие значения второй переменной и составляют пары.

Сложение или вычитание уравнений помогает исключить переменную: её слагаемые исчезают, если коэффициенты противоположны. Например, при сложении x² + y² = 25 и x² − y² = 7 слагаемые y² и −y² взаимно уничтожаются. Если коэффициенты не подходят сразу, уравнения можно умножить на числа, чтобы получить противоположные коэффициенты. После этого решают уравнение с оставшейся переменной, не забывая учесть возможные знаки.

Если в системе повторяются одинаковые выражения, их можно обозначить новой переменной. Так исходные уравнения иногда превращаются в более простую систему, например линейную, которую легче решить. Замена должна сохранять смысл исходной задачи: у новой переменной могут быть ограничения, заданные её выражением. Найдя её значение, нужно вернуться к исходным переменным и определить все соответствующие пары.

Геометрически каждое уравнение задаёт график, а решения системы — точки пересечения этих графиков. Если графики не пересекаются, решений нет; если пересекаются в нескольких точках, система имеет несколько решений. По рисунку удобно оценить число и примерное расположение решений. Однако точные координаты обычно получают вычислениями, так как график может быть недостаточно точным.

Способы решения систем уравнений второй степени

Сопоставьте вид своей системы со столбцом «Когда удобно применять», а затем выполните основной шаг выбранного способа. Перед ответом проверьте, что учли все возможные значения и ограничения. Таблица подсказывает направление решения, но не заменяет проверку в исходной системе.

Разбор задач

Задача 1

Решить систему: y = x + 1, x² + y² = 25. Первое уравнение уже выражает y, поэтому подстановка здесь короче, чем попытка преобразовать оба уравнения отдельно. После нахождения x нужно вычислить y и проверить каждую пару в обеих строках системы.

1. Подставим y = x + 1 во второе уравнение: x² + (x + 1)² = 25.
2. Раскроем скобки и упростим: 2x² + 2x − 24 = 0, или x² + x − 12 = 0. Разложение на множители даёт (x + 4)(x − 3) = 0, поэтому x = −4 или x = 3.
3. Найдём y из первого уравнения. При x = −4 получаем y = −3, а при x = 3 получаем y = 4.

Проверка: для (−4; −3) сумма квадратов равна 16 + 9 = 25, и −3 = −4 + 1. Для (3; 4) сумма квадратов также равна 25, и 4 = 3 + 1. Ответ: (−4; −3), (3; 4).

Задача 2

Решить систему: x² + y² = 25, x² − y² = 7. В уравнениях есть одинаковые квадраты с противоположными знаками, поэтому сложением и вычитанием можно найти каждый квадрат отдельно. Но квадрат не сообщает знак исходной переменной, значит, после вычислений потребуется рассмотреть варианты.

1. Сложим уравнения: 2x² = 32, откуда x² = 16. Вычтем второе уравнение из первого: 2y² = 18, откуда y² = 9.
2. Из x² = 16 получаем x = 4 или x = −4. Из y² = 9 получаем y = 3 или y = −3.
3. Составим все сочетания знаков: (4; 3), (4; −3), (−4; 3), (−4; −3). В каждом случае квадраты равны 16 и 9, поэтому сумма равна 25, а разность равна 7.

Каждая из четырёх пар удовлетворяет обоим уравнениям. Ответ: (4; 3), (4; −3), (−4; 3), (−4; −3).

Задача 3

Решить систему: x² + y² = 25, xy = 12. Здесь неизвестные входят в симметричные выражения, поэтому полезно найти их сумму: её квадрат можно выразить через сумму квадратов и произведение. Затем сумма и произведение позволят определить сами числа, не пропуская варианты их порядка.

1. Используем тождество (x + y)² = x² + 2xy + y². По системе получаем (x + y)² = 25 + 2 · 12 = 49.
2. Значит, x + y = 7 или x + y = −7. Вместе с xy = 12 это задаёт пару корней квадратного уравнения для x и y.
3. При сумме 7 числа — корни уравнения t² − 7t + 12 = 0: это 3 и 4. При сумме −7 получаем t² + 7t + 12 = 0, корни которого −3 и −4.
4. Каждую пару чисел можно расположить в двух порядках: (3; 4), (4; 3), (−3; −4), (−4; −3). Для каждой пары произведение равно 12, а сумма квадратов равна 25.

Так найдены все сочетания, соответствующие обоим возможным значениям суммы. Ответ: (3; 4), (4; 3), (−3; −4), (−4; −3).

Типичные ошибки

• Записывают только одно значение переменной после нахождения её квадрата. Так происходит, потому что квадрат положительного и отрицательного числа одинаков; например, x² = 16 имеет два корня. Выпишите оба знака, а затем проверьте все полученные пары.

• После возведения в квадрат или другого преобразования не проверяют корни в исходной системе. Такое преобразование может дать значения, которые исходным уравнениям не подходят. Подставьте каждую пару именно в исходные записи и исключите неподходящие.

• Подставляют найденную переменную только в одно уравнение и объявляют полученную пару решением. Это не гарантирует, что выполнено второе условие системы. Проверьте пару по очереди в обоих уравнениях.

• При замене забывают ограничения для новой переменной или не возвращаются к x и y. Например, значение замены может быть невозможно для выражения, которое она обозначает. Запишите ограничения при замене и в конце восстановите исходные переменные.

Связь с другими темами

Для решения систем второй степени нужны навыки из предыдущих тем: решение квадратных уравнений, преобразование выражений и решение линейных систем. Графический способ опирается на знания о графиках уравнений и помогает оценить число решений. Те же приёмы полезны в системах более высоких степеней и в задачах, которые можно свести к системе уравнений.

Что запомнить

• Решение системы должно удовлетворять каждому её уравнению.
• Способ решения выбирают по структуре уравнений.
• Подстановка сводит систему к уравнению с одной переменной.
• Сложение уравнений помогает исключить переменную.
• При замене переменных нужно учитывать ограничения и вернуться к исходным переменным.
• Каждую найденную пару следует проверить в исходной системе.