§9. Арифметическая прогрессия

Определения и обозначения

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получают прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Например, в последовательности 3, 7, 11 каждый раз прибавляют 4. Такое правило позволяет понять, как устроена вся последовательность, даже если записаны только первые её члены.

Постоянную разность между любым членом, кроме первого, и предыдущим называют разностью арифметической прогрессии и обозначают d. Формула разности: d = aₙ₊₁ − aₙ. Она показывает, на сколько изменяется значение за один переход, и помогает проверить, действительно ли последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член обозначают a₁, а произвольный член с номером n — aₙ. Индекс n указывает место числа в последовательности: например, a₅ — это пятый член, а не произведение a на 5. Эти обозначения нужны, чтобы записывать общие правила и находить члены с любыми заданными номерами.

Конечная арифметическая прогрессия содержит заданное число членов; если их n, её записывают a₁, a₂, …, aₙ. Последовательность может продолжаться бесконечно, но в конкретной задаче часто рассматривают только первые несколько членов. Запись конечной прогрессии помогает точно обозначить, какие числа входят в рассматриваемую сумму.

Как это устроено

У арифметической прогрессии все разности соседних членов равны одному числу d. Это следует из правила: каждый раз к предыдущему члену прибавляют одну и ту же величину. Поэтому для проверки вычисляют a₂ − a₁, a₃ − a₂ и следующие разности; если они совпадают, условие выполнено. По первым членам разность находят простым вычитанием второго члена из первого.

Чтобы выразить любой член через первый, проследим переходы: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d. От первого члена до члена с номером n всего n − 1 переходов, а каждый добавляет d. Значит, aₙ = a₁ + (n − 1)d. Формула работает и при отрицательной разности: тогда каждое прибавление d уменьшает значение.

Формула n-го члена позволяет найти число на любом месте, если известны a₁ и d: нужно подставить номер вместо n. Её можно преобразовать, если требуется восстановить неизвестные данные: a₁ = aₙ − (n − 1)d, а при n ≠ 1 разность равна d = (aₙ − a₁)/(n − 1). Если известны два члена с номерами не подряд, учитывают число переходов между ними: aₘ − aₖ = (m − k)d.

В трёх последовательных членах средний можно получить из предыдущего прибавлением d, а следующий — ещё одним d. Поэтому крайние отличаются на 2d, и средний равен их полусумме: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Это свойство помогает найти пропущенный член, если известны соседние с ним числа. Например, между 8 и 14 в прогрессии должен стоять их среднее арифметическое.

Сумму первых n членов удобно представить как a₁ + a₂ + … + aₙ, а затем записать те же слагаемые в обратном порядке. При сложении попарно получаются одинаковые суммы: a₁ + aₙ, a₂ + aₙ₋₁ и так далее. Таких пар n, поэтому удвоенная сумма равна n(a₁ + aₙ), откуда Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2. Подставив aₙ = a₁ + (n − 1)d, получаем Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n/2.

Основные свойства и формулы арифметической прогрессии

Сначала определите, какие данные известны и что требуется найти, затем выберите соответствующую строку таблицы. Для проверки прогрессии сравнивают именно разности соседних членов. В формулах суммы n означает число слагаемых, а не число промежутков между ними.

Разбор задач

Дана последовательность 5, 9, 13, … . Нужно установить, является ли она арифметической прогрессией, и найти её разность. Сравним соседние числа: если каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину, правило прогрессии выполняется. Проверим две разности, заданные первыми членами.

1. Вычислим разность второго и первого членов: 9 − 5 = 4.
2. Вычислим разность третьего и второго: 13 − 9 = 4.
3. Разности совпадают, значит, по заданному правилу продолжения это арифметическая прогрессия, её разность d = 4.

Ответ: да, это арифметическая прогрессия; d = 4.

В арифметической прогрессии a₁ = 7 и d = −3. Найдём a₁₂. Между первым и двенадцатым членами не двенадцать, а одиннадцать переходов, поэтому важно подставить в формулу именно n − 1. Отрицательное значение d означает, что при каждом переходе член уменьшается на 3.

1. Запишем формулу: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
2. Подставим данные: a₁₂ = 7 + (12 − 1) · (−3).
3. Вычислим: a₁₂ = 7 − 33 = −26.

Ответ: a₁₂ = −26.

Найдём сумму первых 20 членов, если a₁ = 4, а a₂₀ = 61. Здесь известны крайние члены нужного отрезка прогрессии, поэтому не требуется сначала искать разность. Используем формулу суммы через первый и последний члены, проверив, что n обозначает именно количество слагаемых.

1. Запишем формулу: Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2.
2. Подставим первый и двадцатый члены, а также число членов: S₂₀ = (4 + 61) · 20/2.
3. Сложим крайние члены и умножим на половину числа слагаемых: S₂₀ = 65 · 10 = 650.

Ответ: сумма первых 20 членов равна 650.

Типичные ошибки

В формуле n-го члена иногда используют n шагов вместо n − 1. Ошибка возникает, если считать номер члена числом переходов от первого: до a₂ только один переход, а не два. Проверьте рассуждение на n = 1: формула должна дать a₁, поэтому множитель при d обязан стать нулём.

При вычислении разности важно вычитать предыдущий член из следующего: d = aₙ₊₁ − aₙ. Если изменить порядок, получится число с противоположным знаком, и вывод о возрастании или убывании может оказаться неверным. Для самопроверки подставьте найденное d в равенство aₙ₊₁ = aₙ + d и проверьте его на исходных членах.

Совпадение одной пары разностей ещё не доказывает, что вся последовательность арифметическая. Такую ошибку допускают, когда проверяют только первые два перехода и без основания считают, что правило продолжится. Проверьте все доступные соседние пары либо используйте формулу, которая задаёт последовательность и подтверждает постоянство разности.

В формуле суммы можно забыть деление на 2 или принять число промежутков за число членов. Деление нужно потому, что при сложении прямой и обратной записи каждая пара крайних членов учитывается дважды. Чтобы не ошибиться с количеством, пересчитайте слагаемые: от a₁ до aₙ их n, хотя переходов между ними n − 1.

Связь с другими темами

Для работы с прогрессией нужны навыки вычитания чисел, понимание последовательностей и умение подставлять значения в буквенные формулы. Эти действия знакомы по предыдущим темам алгебры и позволяют переводить условие задачи в вычисления. Арифметическая прогрессия пригодится при решении задач на последовательности и суммы, а также при изучении геометрической прогрессии. Она описывает модели линейного роста, когда величина за равные шаги каждый раз изменяется на одно и то же число.

Что запомнить

• В арифметической прогрессии разность любых двух соседних членов постоянна.
• Разность находят по формуле d = aₙ₊₁ − aₙ.
• Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• Член, расположенный между двумя членами прогрессии, равен их полусумме.
• Сумма первых n членов равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на n.
• Знак разности показывает, возрастает прогрессия, убывает или остаётся постоянной.