"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии позволяет найти результат сложения нескольких её членов, не складывая их по одному. Для этого достаточно знать первый член b₁, знаменатель q и число слагаемых n. Если q ≠ 1, сумму вычисляют по формуле с qⁿ; если q = 1, все члены одинаковы и сумму находят умножением b₁ на n. Разберём, откуда берутся эти формулы и как применять их в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии обозначается Sₙ и записывается так: Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ. Здесь b₁ — первый член, а n показывает, сколько членов складывают. Например, S₄ включает ровно четыре слагаемых, поэтому при изменении n меняется и сумма.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии позволяет вычислить Sₙ через первый член b₁, знаменатель q и количество членов n. Она заменяет последовательное нахождение и сложение всех членов, что особенно удобно при большом n. Для q ≠ 1 формула имеет вид Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
Знаменатель геометрической прогрессии q — постоянное отношение следующего члена к предыдущему: q = bₙ₊₁/bₙ, если bₙ ≠ 0. Поэтому каждый новый член получается умножением предыдущего на q, а члены можно записать как b₁, b₁q, b₁q² и далее. Это постоянное отношение определяет, как быстро меняются члены, и входит в формулу суммы вместе с первым членом и числом слагаемых.
Запишем сумму первых n членов коротко: Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ. Без такого обозначения пришлось бы каждый раз перечислять все слагаемые, а при большом n запись стала бы громоздкой. Обозначение помогает увидеть повторяющийся порядок членов и вывести общий способ вычисления.
Умножим обе части равенства на q. Поскольку каждый следующий член в прогрессии в q раз больше предыдущего, получим qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. Теперь в двух записях почти все члены одинаковы: b₂, b₃ и так далее до bₙ. Вычитание удобно именно потому, что эти общие слагаемые сократятся.
Вычтем из qSₙ сумму Sₙ: слева получится (q − 1)Sₙ, а справа останутся bₙ₊₁ − b₁. По формуле n-го члена bₙ₊₁ = b₁qⁿ, поэтому справа будет b₁qⁿ − b₁ = b₁(qⁿ − 1). Получаем (q − 1)Sₙ = b₁(qⁿ − 1), а при q ≠ 1 делим обе части на q − 1 и находим Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
Ту же формулу можно записать так: Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Числитель и знаменатель здесь получены из первой записи умножением на −1, поэтому значение суммы не изменилось. Выбирайте вариант, с которым проще работать, но меняйте знаки одновременно и в числителе, и в знаменателе.
При q = 1 делить на q − 1 нельзя, потому что знаменатель стал бы равен нулю. Если q = 1, каждый член равен предыдущему, то есть все n членов равны b₁. Значит, сумму можно найти обычным умножением: Sₙ = nb₁.
| Условие | Запись членов прогрессии | Формула суммы Sₙ |
|---|---|---|
| q ≠ 1 | b₁, b₁q, …, b₁qⁿ⁻¹ | b₁(qⁿ−1)/(q−1) или b₁(1−qⁿ)/(1−q) |
| q = 1 | b₁, b₁, …, b₁ | nb₁ |
Сначала проверьте значение q и выберите соответствующую строку таблицы. Затем подставьте b₁ и n; в первой строке вычислите степень qⁿ. Обе записи формулы при q ≠ 1 дают один результат, поэтому можно пользоваться более удобной.
Задача 1. Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии, если b₁ = 2, q = 3. Знаменатель не равен единице, поэтому применим формулу для q ≠ 1. Сначала подставим значения, а затем вычислим степень и дробь.
Ответ: 242. Проверка сложением первых членов 2, 6, 18, 54 и 162 даёт тот же результат. Она подтверждает, что в формулу подставлены пять членов и правильно вычислена степень.
Задача 2. Найдите сумму первых 6 членов прогрессии, если b₁ = 64, q = ½. Здесь q меньше единицы, поэтому удобно выбрать запись с знаменателем 1 − q. Члены быстро уменьшаются, значит, сумма должна быть больше 64, но не намного больше.
Ответ: 126. Проверка по членам даёт 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 126. Результат больше первого члена, как и ожидалось, поскольку все шесть членов положительны.
Задача 3. В геометрической прогрессии b₁ = 5, а сумма первых 4 членов равна 75. Найдите q, если q > 1. Подставим известные значения в формулу, затем проверим найденное значение: условие q > 1 не позволяет принять корень, который ему не соответствует.
Ответ: q = 2. Проверка через сумму показывает, что найденное значение подходит исходным данным. Разложение разности степеней позволило свести уравнение к более простому кубическому.
Первая ошибка — подставить q = 1 в формулу с делением на q − 1. Так делают, потому что пытаются применить одну запись ко всем случаям, но знаменатель тогда равен нулю. Проверьте q до подстановки: при q = 1 используйте Sₙ = nb₁.
Вторая ошибка — перепутать показатель в формуле суммы с показателем последнего члена. Член bₙ равен b₁qⁿ⁻¹, а в формуле суммы появляется qⁿ, поскольку при умножении суммы на q возникает bₙ₊₁. Для проверки выпишите первые члены и сравните, какой член появляется после сдвига.
Третья ошибка — заменить q − 1 на 1 − q, оставив числитель без изменения. Эти выражения отличаются знаком, поэтому такой шаг меняет результат. Проверяйте, что вместе со знаменателем изменён и числитель: qⁿ − 1 заменён на 1 − qⁿ.
Четвёртая ошибка — отказаться от формулы, если q отрицательно. Отрицательный знаменатель допустим, и формула работает при любом q, кроме q = 1; ошибка возникает из-за привычки ожидать положительные члены. Проверьте вычисление степеней и итоговый знак, а при сомнении сложите несколько первых членов напрямую.
Для работы с суммой нужно знать определение геометрической прогрессии и формулу её n-го члена: bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Именно она помогает выразить появившийся при выводе член bₙ₊₁ через b₁ и q. Также понадобятся правила действий с буквенными выражениями, в частности умножение суммы на число и сокращение одинаковых слагаемых.
Формула суммы полезна, когда требуется вычислить накопленную величину, чьи значения образуют геометрическую прогрессию. Например, она помогает быстро сложить последовательные вклады, если каждый следующий связан с предыдущим одним и тем же множителем. Позже идея суммы будет связана с переходом к сумме бесконечной геометрической прогрессии.
Почему при выводе формулы сумму умножают именно на q?
Каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на q. Поэтому умножение всей суммы на q сдвигает её слагаемые на один член вперёд. При вычитании исходной суммы большая часть слагаемых сокращается.
Почему в формуле суммы стоит q^n, а не q^(n−1)?
Последний член действительно равен bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Но при умножении суммы на q появляется следующий член bₙ₊₁ = b₁qⁿ. Именно он остаётся при вычитании сумм, поэтому в формуле возникает qⁿ.
Какую из двух равносильных записей формулы удобнее выбирать?
Можно выбрать ту запись, в которой знаменатель положителен или проще вычисляется: b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) либо b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). При переходе от одной записи к другой знак нужно поменять и в числителе, и в знаменателе.
Что делать, если знаменатель прогрессии равен 1?
Формулу с делением на q − 1 применять нельзя: при q = 1 знаменатель обращается в ноль. В этом случае все члены равны b₁, поэтому Sₙ = nb₁.
Можно ли пользоваться формулой, если знаменатель прогрессии отрицательный?
Да, формула подходит и для отрицательного q, если q ≠ 1. Подставьте значение аккуратно, учитывая знаки при возведении отрицательного числа в степень. При необходимости проверьте результат сложением первых нескольких членов.
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
