"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Это число называют знаменателем прогрессии: оно показывает, во сколько раз меняется член при каждом переходе. Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член по формуле bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Она помогает быстро описывать повторное увеличение или уменьшение величины и решать задачи о последовательностях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовая последовательность — упорядоченный набор чисел, члены которого обозначают буквами с индексами: b₁, b₂, b₃ и так далее. Индекс показывает место числа в последовательности, поэтому b₄ — четвёртый член. Это обозначение помогает говорить о любом члене, не перечисляя всю последовательность.
Геометрическая прогрессия — последовательность, каждый следующий член которой получается умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 3, 6, 12, 24 каждый раз умножают на 2. Такое определение позволяет узнать правило последовательности и продолжить её.
Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное число q, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий. Буква q обозначает один и тот же множитель для всей прогрессии. По знаменателю можно понять, как меняются члены: например, при q = ½ каждый новый член вдвое меньше предыдущего.
Формула n-го члена — равенство bₙ = b₁qⁿ⁻¹, позволяющее найти любой член прогрессии по первому члену и знаменателю. Здесь n — номер нужного члена, а b₁ — первый член. Формула полезна, когда нужно сразу вычислить член с большим номером, не выписывая все предыдущие.
Чтобы распознать геометрическую прогрессию, нужно проверить, получается ли каждый следующий член умножением предыдущего на одно и то же число. Например, для последовательности 4, 12, 36 отношения соседних членов равны 12 / 4 = 3 и 36 / 12 = 3. Значит, постоянный множитель есть, и это геометрическая прогрессия со знаменателем q = 3. Её правило можно записать рекуррентно — то есть через предыдущий член: bₙ₊₁ = bₙq.
Знаменатель находят делением следующего члена на предыдущий, потому что именно так из равенства bₙ₊₁ = bₙq можно выразить неизвестный множитель: q = bₙ₊₁ / bₙ. Это деление определено, если bₙ ≠ 0. Для проверки прогрессии следует вычислить отношения нескольких соседних членов: одно совпавшее отношение ещё не подтверждает, что правило выполняется во всей последовательности. Если все такие отношения одинаковы, каждый переход использует один и тот же множитель.
Формула n-го члена получается из последовательного применения правила умножения. Чтобы перейти от b₁ к b₂, нужно умножить на q один раз; чтобы дойти до b₃ — ещё раз, то есть всего умножить на q². В общем случае от первого члена до n-го происходит n − 1 переходов. Поэтому bₙ = b₁qⁿ⁻¹: первый член умножается на q столько раз, сколько переходов нужно сделать.
Первые члены показывают, откуда берётся показатель степени: b₂ = b₁q, b₃ = b₁q², b₄ = b₁q³. Номер члена на единицу больше количества умножений на q, потому что b₁ уже дан и для его получения переходов не требуется. Например, для b₄ нужно три перехода, поэтому степень равна 3, а не 4. Проверка по первым членам помогает не ошибиться в формуле.
Формула позволяет находить неизвестные параметры и проверять заданную последовательность. Если известны b₁ и один из дальнейших членов, подставьте их в bₙ = b₁qⁿ⁻¹ и составьте уравнение относительно q; если известны q и bₙ, можно выразить b₁. Для проверки последовательности удобно вычислить несколько отношений соседних членов или сопоставить её члены с формулой. При решении уравнения для параметра проверьте каждый найденный вариант подстановкой, поскольку возможны разные значения q.
| Что рассматриваем | Определение или формула | Что показывает |
|---|---|---|
| Правило образования | Каждый следующий член получают умножением предыдущего на q | Как последовательность продолжается |
| Знаменатель прогрессии | q = bₙ₊₁ / bₙ, если bₙ ≠ 0 | Во сколько раз меняется член при переходе |
| Связь соседних членов | bₙ₊₁ = bₙq | Как найти следующий член по предыдущему |
| Формула n-го члена | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | Как найти член с номером n по b₁ и q |
| Число переходов от первого члена к n-му | n − 1 | Сколько раз первый член умножают на q |
Если известны соседние члены, используйте отношение, чтобы найти q; если известны первый член и номер, применяйте формулу n-го члена. Для выписывания последовательности по шагам удобнее правило bₙ₊₁ = bₙq. Всегда проверяйте, что найденный знаменатель подходит для всех соседних пар.
Нужно выяснить, одинаков ли множитель при переходе от каждого члена к следующему. Сравним отношения соседних членов, а не разности: одинаковые отношения и будут признаком геометрической прогрессии. Если отношения совпадут, это общее значение и есть q.
Ответ: последовательность геометрическая, её знаменатель q = 2.
Известны первый член, знаменатель и номер нужного члена, поэтому выписывать всю прогрессию необязательно. Применим формулу bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Так как нужно найти четвёртый член, показатель равен 4 − 1 = 3.
Ответ: b₄ = −40.
Между вторым и пятым членами три перехода, поэтому b₅ = b₂q³. Это даст уравнение для q и позволит проверить, возможны ли разные значения. После нахождения знаменателя вернёмся к равенству b₂ = b₁q, чтобы вычислить первый член.
Ответ: q = 2, b₁ = 6.
Иногда знаменатель находят как отношение первого члена к следующему. Это переворачивает дробь: если члены равны 3 и 6, то q = 6 / 3 = 2, а не 3 / 6. Ошибка возникает, когда не проверяют, какое число на какое умножили. Для самопроверки умножьте предыдущий член на найденное q: должен получиться следующий.
В формуле n-го члена иногда пишут bₙ = b₁qⁿ, забывая, что от первого члена до самого себя переходов нет. Поэтому при n = 1 такая запись дала бы b₁q вместо b₁. Подставьте в формулу номер 1: степень должна стать нулём, и результатом должен быть первый член.
Постоянную разность соседних членов могут принять за признак геометрической прогрессии. Но одинаковая разность относится к арифметической прогрессии, а в геометрической должны совпадать отношения соседних членов. Ошибку предотвращает вычисление нескольких отношений и сравнение их значений. Если деление невозможно из-за нулевого предыдущего члена, проверяйте правило умножения bₙ₊₁ = bₙq.
При отрицательном q легко потерять знак или неправильно раскрыть степень. Например, (−2)² = 4, но (−2)³ = −8: знак зависит от чётности показателя. Записывайте отрицательное число в скобках и отдельно вычисляйте степень, прежде чем умножать на b₁. В конце проверьте, соответствует ли знак результата чётности числа переходов.
Для работы с геометрической прогрессией нужны навыки чтения числовых последовательностей, понимание индексов и умение возводить числа в натуральную степень. Именно показатель степени удобно отражает многократное умножение на один и тот же знаменатель. Эти знания позволяют переходить от записи нескольких членов к общей формуле.
Формула n-го члена пригодится при изучении суммы первых членов геометрической прогрессии. Та же идея повторного умножения описывает сложные проценты: сумма каждый раз меняется в одинаковое число раз. Поэтому прогрессии помогают решать задачи о накоплениях, изменении величины и других повторяющихся процессах.
Почему в формуле n-го члена стоит степень n − 1, а не n?
От первого члена до самого себя переходов нет, поэтому b₁ = b₁q⁰. Чтобы получить второй член, умножаем один раз, а чтобы получить n-й — n − 1 раз.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
Разделите любой член, следующий по порядку, на предыдущий: q = bₙ₊₁ / bₙ. Деление возможно, если предыдущий член не равен нулю; полученное отношение должно быть одинаковым для всех соседних пар.
Может ли знаменатель геометрической прогрессии быть отрицательным?
Да. При отрицательном q знаки членов обычно чередуются: например, если b₁ = 2 и q = −3, то первые члены равны 2, −6, 18.
Как отличить геометрическую прогрессию от арифметической?
У геометрической прогрессии постоянно отношение соседних членов, а у арифметической — разность соседних членов. Поэтому для проверки геометрической прогрессии делят следующий член на предыдущий, а не вычитают их.
Как найти первый член, если известны другой член и знаменатель?
Из формулы bₙ = b₁qⁿ⁻¹ выразите первый член: b₁ = bₙ / qⁿ⁻¹. Формула применима при q ≠ 0; затем подставьте известные значения и вычислите.
Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии
