"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем и обозначают q. Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член последовательности; с помощью специальных формул можно быстро вычислить сумму нескольких первых членов. Эти правила помогают описывать повторяющийся рост или убывание величин, например при начислении процентов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность ненулевых чисел, в которой отношение каждого члена, начиная со второго, к предыдущему постоянно. Это постоянное отношение называют знаменателем прогрессии. Например, в последовательности 2, 6, 18, … каждый член получается умножением предыдущего на 3. Определение позволяет отличить такую последовательность от арифметической, где соседние члены связаны постоянной разностью.
Знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q: для соседних членов выполняется равенство bₙ₊₁ = bₙq. Значит, чтобы получить следующий член, достаточно умножить известный на q. Знаменатель может быть положительным или отрицательным; если рассматривают последовательности с нулевыми членами, возможно и q = 0. При строгом условии, что все члены ненулевые, q = 0 невозможен.
Общий член bₙ — это член прогрессии с номером n. Его выражают через первый член b₁ и знаменатель: bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Такая запись нужна, чтобы найти член с любым номером сразу, не выписывая все предыдущие. Например, для шестого члена используют b₆ = b₁q⁵.
Рекуррентное правило bₙ₊₁ = bₙq напрямую следует из определения: отношение следующего члена к предыдущему равно q. Умножение на одно и то же число сохраняет этот порядок связи на каждом шаге. Поэтому, зная один член и знаменатель, можно последовательно построить всю прогрессию. Такое правило удобно, когда нужны только несколько первых членов.
Подставим правило одно за другим: b₂ = b₁q, затем b₃ = b₂q = b₁q². Каждый переход добавляет ещё один множитель q, поэтому для bₙ получается b₁qⁿ⁻¹. Показатель n − 1 равен числу переходов от первого члена к n-му: между ними именно n − 1 шагов. Проверка при n = 1 даёт b₁q⁰ = b₁, как и должно быть.
Если предыдущий член не равен нулю, знаменатель находят делением: q = bₙ₊₁ / bₙ. Чтобы убедиться, что последовательность геометрическая, сравнивают результаты для нескольких соседних пар. Например, у 3, 6, 12, 24 отношения равны 6/3 = 2, 12/6 = 2 и 24/12 = 2. Одного отношения недостаточно: в последовательности могут совпасть два соседних члена, но дальнейшее правило окажется другим.
Для вывода суммы обозначим Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ. Умножение этой записи на q сдвигает слагаемые: qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. Если вычесть первое равенство из второго, средние члены сократятся, и останется разность крайних: qSₙ − Sₙ = bₙ₊₁ − b₁. Подставляя bₙ₊₁ = b₁qⁿ и решая относительно Sₙ, получаем Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), когда q ≠ 1.
При q = 1 умножение на знаменатель не меняет члены: каждый равен b₁. Поэтому сумма — это n одинаковых слагаемых, то есть Sₙ = nb₁. Формула с дробью здесь неприменима, потому что 1 − q = 0 и делить на ноль нельзя. Этот случай проще посчитать отдельно, не подставляя q = 1 в формулу.
| Что найти | Условие | Формула |
|---|---|---|
| Следующий член | Для любого n | bₙ₊₁ = bₙq |
| Знаменатель | При bₙ ≠ 0 | q = bₙ₊₁/bₙ |
| Общий член | Известны b₁ и q | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ |
| Сумма первых n членов | При q ≠ 1 | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) |
| Сумма первых n членов | При q = 1 | Sₙ = nb₁ |
Сначала выберите строку по тому, что нужно найти, а затем проверьте, выполнено ли указанное условие. В частности, формулы суммы зависят от того, равен ли q единице. В выражениях с отрицательным знаменателем удобно сохранять скобки: например, (−2)⁵.
Последовательность задана: 3, 6, 12, 24, … Нужно выяснить, геометрическая ли она, и найти q. Проверим отношения соседних членов, потому что по определению именно они должны быть постоянны. Если во всех парах получается одинаковое число, это число и будет знаменателем.
Делим второй член на первый: 6/3 = 2.
Проверяем следующие пары: 12/6 = 2 и 24/12 = 2.
Все отношения равны, значит, правило умножения на 2 сохраняется и последовательность является геометрической.
Ответ: да, это геометрическая прогрессия; q = 2.
Дано b₁ = 5 и q = −2; требуется найти b₆. Здесь нужно использовать общий член, а не умножать на q только один раз: от первого члена до шестого пять переходов. Отрицательное основание заключаем в скобки, чтобы степень относилась ко всему числу −2.
Записываем формулу: bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
Подставляем n = 6: b₆ = 5 · (−2)⁵.
Вычисляем степень: (−2)⁵ = −32, так как показатель нечётный. Поэтому b₆ = 5 · (−32) = −160.
Ответ: b₆ = −160. Отрицательный знак ожидаем: при каждом умножении на −2 знак меняется.
Дано b₁ = 2, q = 3, нужно найти сумму первых пяти членов. Поскольку q ≠ 1, подходит формула суммы для этого случая. Перед вычислениями полезно проверить, что считаем именно пять членов, а не шестой член прогрессии.
Подставляем данные в формулу: S₅ = 2(1 − 3⁵)/(1 − 3).
Вычисляем степень и знаменатель: 3⁵ = 243, 1 − 3 = −2. Тогда S₅ = 2 · (1 − 243)/(−2).
Получаем S₅ = 2 · (−242)/(−2) = 242. Проверка: первые пять членов — 2, 6, 18, 54, 162; их сумма равна 242.
Ответ: S₅ = 242. Сложение выписанных членов подтверждает и результат, и количество слагаемых.
В формуле общего члена иногда пишут bₙ = b₁qⁿ, забывая вычесть единицу из показателя. Так происходит, когда номер члена принимают за число умножений на q. Проверьте формулу при n = 1: показатель должен стать нулём, чтобы получилось b₁.
Знаменатель q путают с разностью соседних членов, потому что обе величины связывают соседние элементы. Но в геометрической прогрессии следующий член получают умножением, а не сложением постоянного числа. Для самопроверки разделите соседние члены: если отношения одинаковы, это признак геометрической прогрессии.
Формулу суммы с дробью применяют и при q = 1, хотя тогда её знаменатель равен нулю. Ошибку допускают, потому что подстановка кажется обычной заменой букв числами. Перед вычислениями проверьте условие формулы: при q = 1 используйте Sₙ = nb₁.
При отрицательном q можно потерять знак члена или суммы. Это случается, если забыть, что отрицательное основание в чётной степени даёт положительное число, а в нечётной — отрицательное. Записывайте q в скобках и проверяйте чётность показателя; для суммы также полезно оценить знаки её слагаемых.
Для работы с прогрессией пригодятся деление чисел, свойства степеней и вычисление сумм. Особенно внимательно нужно возводить в степень отрицательное основание: скобки показывают, что знак входит в основание. Умение сравнивать отношения соседних членов помогает проверять, подходит ли к последовательности геометрическая модель.
Геометрическая прогрессия описывает ситуации, где величина каждый раз умножается на один и тот же коэффициент. Поэтому её формулы применяют при изучении сложных процентов и показательного роста или убывания. Идея сохраняется и для бесконечных геометрических рядов, хотя там дополнительно выясняют, при каких условиях бесконечная сумма существует.
Как проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией?
Найдите отношения каждого следующего члена к предыдущему. Если они одинаковы для всех соседних пар, последовательность геометрическая. Если предыдущий член равен нулю, проверить отношение таким способом нельзя — нужно проверить, выполняется ли одно и то же правило умножения.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
Разделите любой член, начиная со второго, на предыдущий: q = bₙ₊₁ / bₙ. Проверьте на других соседних парах, что результат тот же. При нулевом предыдущем члене отношение не определено.
Почему в формуле общего члена стоит степень n − 1?
Чтобы попасть от первого члена к члену с номером n, нужно умножить на q ровно n − 1 раз. Поэтому bₙ = b₁qⁿ⁻¹. При n = 1 степень равна нулю, и формула даёт b₁.
Что меняется, если знаменатель прогрессии отрицательный?
При умножении на отрицательное q знак членов чередуется: положительный сменяется отрицательным и наоборот. Модуль каждого нового члена умножается на |q|. В формулах сохраняют скобки вокруг отрицательного q, особенно при возведении в степень.
Как найти сумму первых членов, если q = 1?
При q = 1 все члены равны b₁, поэтому Sₙ = nb₁. Формулу с делением на 1 − q использовать нельзя: знаменатель в ней становится равным нулю.
§10 Геометрическая прогрессия.
