Формула суммы п первых членов арифмети­ческой прогрессии

Определения и обозначения

Сумма первых n членов арифметической прогрессии — результат сложения её членов от первого до n-го: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. Здесь n — количество слагаемых, а не номер любого произвольно выбранного члена. Например, S₅ включает ровно a₁, a₂, a₃, a₄ и a₅. Это обозначение позволяет говорить о сумме сразу, не записывая каждый член отдельно.

Если известны первый и последний из складываемых членов, сумму находят по формуле Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Буква a₁ обозначает первый член прогрессии, aₙ — её член с номером n, а n — число складываемых членов. Формула удобна тем, что для вычисления не требуется выписывать всю последовательность. Сначала нужно убедиться, что выбранный последний член действительно имеет номер n.

Когда известны первый член и разность прогрессии d, используют формулу Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2. Здесь d — число, на которое каждый член отличается от предыдущего, а a₁ — начало последовательности. Эта формула получается из формулы n-го члена aₙ = a₁ + (n − 1)d: выражение для aₙ подставляют в формулу суммы через крайние члены. Так можно вычислить сумму, даже если последний член заранее не найден.

Как это устроено

Запишем сумму первых n членов в обычном порядке: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. Теперь представим те же слагаемые от последнего к первому: Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁. Значение не изменилось, потому что слагаемые только переставлены местами, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Обратная запись нужна, чтобы увидеть закономерность при сложении.

Сложим прямую и обратную записи почленно. Первое слагаемое первой строки a₁ соединяется с последним aₙ, второе a₂ — с предпоследним aₙ₋₁ и так далее. В арифметической прогрессии все такие пары имеют одинаковую сумму: a₁ + aₙ, потому что разность между членами слева и справа компенсируется. Например, при сложении пяти членов образуются пары a₁ + a₅, a₂ + a₄, а средний член прибавляется к самому себе. В любом случае каждый из n столбцов даёт значение a₁ + aₙ.

В результате сложения двух записей получаем 2Sₙ = n(a₁ + aₙ). Слева стоит удвоенная сумма, так как складывались две записи одного и того же Sₙ, а справа — n одинаковых пар. Делим обе части равенства на 2 и получаем Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Деление на два не зависит от чётности n: формула действует и при чётном, и при нечётном количестве членов.

Чтобы выразить сумму через первый член и разность, подставим вместо aₙ формулу n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Тогда Sₙ = n(a₁ + a₁ + (n − 1)d)/2, то есть Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2. Число n − 1 появляется потому, что от первого члена до n-го нужно сделать n − 1 переходов с шагом d. Например, до пятого члена проходят четыре таких шага.

Формулу выбирают по тем величинам, которые уже известны. Если есть a₁, aₙ и число членов n, подставлять разность не нужно; если известны a₁, d и n, удобнее сразу применить формулу через разность. Когда крайний член не дан, но известны a₁ и d, его можно сначала найти по формуле n-го члена. В любом способе проверьте, что число слагаемых и номер последнего члена совпадают.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Сначала определите, какие данные приведены в задаче, и выберите подходящую строку таблицы. Если известна разность, но не последний член, используйте вторую формулу; если известны оба крайних члена — первую. Последняя строка показывает, что среднее арифметическое членов прогрессии можно найти по двум крайним.

Разбор задач

Задача 1. Найдите сумму первых 10 членов прогрессии 3, 7, 11, … . Сначала определим шаг последовательности: каждое число увеличивается на 4, значит, d = 4. Для суммы через крайние члены понадобится a₁₀, поэтому сначала найдём его. Затем подставим крайние члены и число слагаемых в формулу суммы.

1. По условию a₁ = 3, d = 4, n = 10.
2. Найдём десятый член: a₁₀ = 3 + (10 − 1) · 4 = 39.
3. Вычислим сумму: S₁₀ = 10(3 + 39)/2 = 210.

Ответ: 210. Проверка здравого смысла: среднее крайних членов равно (3 + 39)/2 = 21, а десять таких средних дают сумму 210. Мы не складывали десять чисел по одному, потому что формула уже учитывает их равномерное увеличение.

Задача 2. В арифметической прогрессии a₁ = 5 и a₁₂ = 38. Найдите сумму первых 12 членов. Здесь известны оба крайних члена нужного отрезка прогрессии и число членов. Поэтому искать разность или выписывать промежуточные значения не требуется. Подставим эти данные непосредственно в формулу суммы через крайние члены.

1. Определим число слагаемых: n = 12; первый член a₁ = 5, двенадцатый a₁₂ = 38.
2. Подставим значения: S₁₂ = 12(5 + 38)/2.
3. Сначала сложим крайние члены: 5 + 38 = 43; затем вычислим 12 · 43/2 = 6 · 43 = 258.

Ответ: 258. Можно проверить результат по среднему: среднее крайних членов равно 21,5, а 21,5 · 12 = 258. Существенно, что дан именно a₁₂, поскольку складываются первые 12 членов.

Задача 3. Сумма первых n членов прогрессии с a₁ = 4 и d = 3 равна 220. Найдите n. Число членов неизвестно, поэтому составим уравнение по формуле, в которой используются первый член и разность. После решения уравнения проверим, получается ли натуральное число: количество членов прогрессии не может быть дробным. Такая проверка помогает заметить, если заданная сумма не соответствует ни одному целому числу первых членов.

1. Подставим известные значения: 220 = n(2 · 4 + (n − 1) · 3)/2.
2. Упростим: 220 = n(8 + 3n − 3)/2 = n(3n + 5)/2, поэтому 3n² + 5n − 440 = 0.
3. Дискриминант равен 5² − 4 · 3 · (−440) = 5305. Это не полный квадрат, поэтому корень уравнения не является натуральным числом.

Ответ: натурального значения n нет; при указанных данных задача не имеет решения. Дополнительно проверим соседние суммы: S₁₁ = 209, а S₁₂ = 246, поэтому 220 не является суммой целого числа первых членов. Если в условии предполагалась целочисленная длина прогрессии, следует проверить, нет ли в исходных данных опечатки.

Типичные ошибки

• Берут не тот aₙ. В формуле суммы через крайние члены нужен именно последний член среди складываемых, а не любой известный член прогрессии. Ошибка возникает, когда номер последнего члена не сверяют с числом слагаемых. Перед подстановкой сопоставьте индекс aₙ с n в Sₙ.
• Забывают делить на 2. Иногда в ответ записывают n(a₁ + aₙ), хотя это значение удвоенной суммы, полученное сложением прямой и обратной записей. Так происходит, если теряют множитель 2 у Sₙ на левой стороне равенства. Проверьте вывод: из 2Sₙ = n(a₁ + aₙ) нужно разделить обе части на два.
• Путают d и aₙ. Разность d показывает изменение между соседними членами, а aₙ — конкретный член последовательности. Путаница возникает из-за того, что обе величины входят в формулы. Подставьте их по смыслу: d — постоянный шаг, aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• Применяют формулу к любой последовательности. Формулы суммы работают для арифметической прогрессии, а в произвольной последовательности пары членов могут не давать одну и ту же сумму. Ошибка появляется, если судить о закономерности только по первым двум числам. Вычислите разности соседних членов: они должны быть постоянными.

Связь с другими темами

Для работы с суммой нужно знать определение арифметической прогрессии и формулу её n-го члена aₙ = a₁ + (n − 1)d. Вывод суммы также опирается на свойства сложения: слагаемые можно переставлять и объединять в пары. Если неизвестно число членов, формула суммы превращается в уравнение, которое нужно решить и проверить.

Эта формула помогает в задачах о последовательностях и суммировании чисел, которые равномерно увеличиваются или уменьшаются. В таких ситуациях она заменяет длинное сложение вычислением по нескольким данным. Перед применением нужно убедиться, что разность соседних членов постоянна.

Что запомнить

• Sₙ — сумма первых n членов арифметической прогрессии.
• Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
• Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2.
• В формуле через крайние члены aₙ должен быть именно n-м членом.
• Среднее арифметическое первых n членов равно (a₁ + aₙ)/2.
• Перед вычислением суммы проверьте, что последовательность действительно арифметическая.