Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической про­грессии

Определения и обозначения

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Например, в последовательности 2, 5, 8, 11 каждый раз прибавляют 3. Это определение помогает отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей: правило постоянного прибавления должно выполняться на каждом переходе.

Постоянную разность соседних членов называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Если члены записаны как aₙ и aₙ₊₁, то d = aₙ₊₁ − aₙ. Такой порядок вычитания показывает, на сколько изменился член при переходе к следующему, и позволяет определить знак разности.

Члены последовательности обозначают буквами с индексами: a₁ — первый член, aₙ — член с номером n, где n — натуральный номер. Индекс указывает место числа в последовательности, а не его значение. Это различие нужно, чтобы не путать, например, седьмой член a₇ с числом 7.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Она позволяет найти член с любым натуральным номером, если известны первый член и разность. Вместо последовательного выписывания всех членов достаточно подставить нужные значения в формулу.

Как это устроено

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической, найди разности каждой пары соседних членов. Например, для 4, 7, 10, 13 получаются разности 7 − 4 = 3, 10 − 7 = 3 и 13 − 10 = 3. Равенство всех разностей подтверждает, что правило перехода одно и то же; если хотя бы одна разность отличается, последовательность не арифметическая.

Формула n-го члена получается из подсчёта переходов от первого члена. Чтобы добраться от a₁ до a₂, разность прибавляют один раз, до a₃ — два раза, а до a₄ — три раза. Поэтому до члена с номером n разность прибавляют n − 1 раз: между n членами расположено на один переход меньше, чем самих членов.

Это можно увидеть и при последовательном составлении членов: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d. Далее a₄ = a₃ + d = a₁ + 3d, и так далее. В общем случае к a₁ добавляют d ровно n − 1 раз, поэтому получают aₙ = a₁ + (n − 1)d. Формула описывает тот же порядок действий, что и правило перехода к следующему члену.

Знак разности показывает направление изменения последовательности. Если d > 0, к каждому члену прибавляют положительное число, поэтому следующий член больше предыдущего; прогрессия возрастает. Если d < 0, прибавление отрицательного числа уменьшает член, и прогрессия убывает. При d = 0 ничего не меняется, поэтому все члены равны.

Если известны два члена и их номера, для каждого можно записать формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d. Получившиеся равенства позволяют найти неизвестные a₁ и d; для этого равенства удобно вычесть друг из друга, чтобы исключить первый член. Когда известна разность и один член, формулу можно преобразовать для нахождения первого члена или любого другого члена. Так формула работает не только для вычисления членов, но и для поиска неизвестных параметров прогрессии.

Способы задания арифметической прогрессии

Сначала определи, какие данные известны: первый член, разность или отдельные члены с номерами. Для выписывания последовательности удобно правило перехода, а для дальнего члена — формула n-го члена. Если номера известных членов не соседние, можно сравнить их по формуле и учесть число переходов между ними.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли последовательность 4, 7, 10, 13, … арифметической, и указать её разность. Сравним каждый следующий член с предыдущим, потому что постоянство именно этих разностей является признаком арифметической прогрессии. Если результаты совпадут, можно назвать общую разность.

1. Вычислим разность между вторым и первым членами: 7 − 4 = 3.
2. Проверим следующий переход: 10 − 7 = 3.
3. Проверим ещё один переход: 13 − 10 = 3. Все найденные разности равны, значит, последовательность арифметическая.

Ответ: да, это арифметическая прогрессия; d = 3.

Задача 2. В арифметической прогрессии a₁ = −2, d = 5. Найти a₈. Поскольку известны первый член и разность, используем формулу n-го члена. Важно подставить n = 8, а не прибавлять разность восемь раз: от первого до восьмого члена всего семь переходов.

1. Запишем формулу: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
2. Подставим данные: a₈ = −2 + (8 − 1) · 5.
3. Вычислим: a₈ = −2 + 35 = 33.

Ответ: a₈ = 33.

Задача 3. В арифметической прогрессии a₃ = 11 и a₇ = 27. Найти разность, первый член и a₁₀. Здесь даны два члена с разными номерами, поэтому сначала запишем формулу для каждого из них. Вычитание равенств поможет убрать неизвестный первый член и найти разность.

1. Составим равенства: a₁ + 2d = 11 и a₁ + 6d = 27.
2. Вычтем первое равенство из второго: 4d = 16, значит, d = 4.
3. Подставим разность в первое равенство: a₁ + 8 = 11, поэтому a₁ = 3.
4. Найдём десятый член: a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39.

Ответ: d = 4, a₁ = 3, a₁₀ = 39.

Типичные ошибки

Разность иногда считают как aₙ − aₙ₊₁, то есть в обратном порядке. Тогда получится число с противоположным знаком, и вывод о направлении изменения может стать неверным. Вычитай предыдущий член из следующего и проверь на примере: для 4, 7 разность равна 7 − 4 = 3.

В формуле n-го члена можно ошибочно написать nd вместо (n − 1)d. Ошибка возникает, если считать число членов, а не переходов между ними: от первого члена до n-го переходов на один меньше. Для проверки подставь n = 1: формула должна дать a₁, а выражение с nd этого не даст.

Номер члена и его значение — разные вещи: n показывает место числа, а aₙ обозначает само число на этом месте. Из-за похожих обозначений их легко перепутать при подстановке. Перед вычислением выпиши, например, «номер n = 5» и «значение a₅ = …», чтобы видеть, где индекс, а где искомое число.

При отрицательной разности иногда теряют знак и подставляют вместо d положительное число. Тогда расчёт показывает возрастание, хотя отрицательная разность означает убывание. Сохраняй знак при подстановке, а результат проверяй сравнением соседних членов: при d < 0 каждый следующий должен быть меньше предыдущего.

Связь с другими темами

Для работы с прогрессией нужны навыки вычитания чисел, включая отрицательные, и подстановки значений в буквенные выражения. Понятие последовательности и обозначение её членов дают основу для изучения других числовых последовательностей и способов их задания. Формула n-го члена помогает решать задачи, где требуется найти отдельные члены, и подготавливает к изучению суммы членов арифметической прогрессии.

Что запомнить

• В арифметической прогрессии разность соседних членов постоянна.
• Разность обозначают d и находят как aₙ₊₁ − aₙ.
• Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• Между первым и n-м членами — n − 1 переходов.
• При d > 0 прогрессия возрастает, при d < 0 убывает.
• При d = 0 все члены прогрессии равны.