"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Функция y = x² каждому числу x ставит в соответствие его квадрат. Её график — парабола: плавная U-образная кривая с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. По графику можно увидеть, как меняются значения функции, а по формуле — найти их для любого аргумента. Главные особенности этой функции: симметрия относительно оси y, неотрицательные значения, убывание слева от нуля и возрастание справа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = x² — это правило, по которому каждому числу x сопоставляется его квадрат. Здесь x называют аргументом, то есть независимой переменной, а y — значением функции. Например, если x = 3, то y = 3² = 9. Формула помогает быстро находить значение функции для выбранного аргумента.
График функции — это множество точек координатной плоскости, координаты которых связаны заданным равенством. Для y = x² каждой точке графика соответствуют координаты (x; x²): первая координата задаёт аргумент, вторая — значение функции. Например, точка (2; 4) принадлежит графику, потому что 4 = 2². По графику удобно видеть сразу много значений функции.
Парабола — кривая, которая получается как график функции y = x². Её форма похожа на букву U: от нижней точки кривая поднимается влево и вправо. Такая форма показывает, что значения функции растут при удалении аргумента от нуля. Парабола не состоит из отдельных отрезков, поэтому точки на ней соединяют плавно.
Вершина параболы — её нижняя точка, для графика y = x² это начало координат (0; 0). Ось симметрии — прямая, относительно которой левая и правая части графика зеркально совпадают; здесь это ось y. Эти понятия помогают точно описать положение параболы и использовать её симметрию при построении. Если известна точка справа от оси y, соответствующая точка слева находится на том же расстоянии от неё.
Чтобы построить график по таблице, сначала выбирают несколько значений x, а затем для каждого вычисляют x². Полученные пары записывают как координаты точек (x; y), отмечают их на плоскости и соединяют плавной кривой. Удобно брать значения с обеих сторон от нуля, например −2, −1, 0, 1 и 2. Такая таблица показывает не весь график, а точки, по которым можно правильно представить его форму.
При аргументах x и −x значения функции одинаковы, потому что квадрат противоположных чисел равен: (−x)² = x². Например, при x = 2 и x = −2 значение y равно 4. Поэтому две соответствующие точки расположены на одинаковой высоте и на одинаковом расстоянии от оси y. Это объясняет симметрию графика и позволяет строить одну его половину, а затем отражать точки относительно оси.
График проходит через начало координат, потому что при x = 0 получаем y = 0² = 0. Квадрат любого числа неотрицателен, значит ниже оси x точек графика быть не может. Для ненулевого x квадрат положителен, поэтому все остальные точки находятся выше оси x. Точка (0; 0) оказывается самой нижней и является вершиной параболы.
Слева от нуля функция убывает: когда x движется от отрицательных чисел к нулю, его модуль уменьшается, а вместе с ним уменьшается и квадрат. Например, значения при x = −3, −2, −1, 0 равны 9, 4, 1, 0. Справа от нуля функция возрастает, потому что при увеличении положительного x увеличивается и его квадрат. Поэтому направление изменения зависит от того, с какой стороны от вершины мы движемся.
Формула объясняет и направление ветвей параболы: чем больше модуль x, тем больше x². Это верно и для положительных, и для отрицательных аргументов, поскольку квадрат зависит от расстояния до нуля, а не от знака числа. Поэтому при удалении от вершины вверх по графику значения y растут. Ветви параболы направлены вверх.
| Свойство | Характеристика |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа |
| Множество значений | Все числа y ≥ 0 |
| Нуль функции | x = 0 |
| Наименьшее значение | 0 при x = 0 |
| Промежуток убывания | При x ≤ 0 |
| Промежуток возрастания | При x ≥ 0 |
| Симметрия графика | Относительно оси y |
| Вершина и направление ветвей | (0; 0), ветви направлены вверх |
Таблица помогает быстро проверить свойства функции и не смешать область определения с множеством значений. Например, аргументом может быть любое действительное число, а значение y не бывает отрицательным. При чтении промежутков помни: убывание и возрастание описывают разные стороны вершины.
Задача 1. Постройте график функции y = x², составив таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1, 2. Нужно для каждого аргумента применить одну и ту же формулу, а затем перенести полученные пары на координатную плоскость. Симметричные значения справа и слева от нуля помогут проверить расчёты.
Ответ: таблица значений: x — −2, −1, 0, 1, 2; y — 4, 1, 0, 1, 4. График — парабола с вершиной в точке (0; 0). Проверь, что точки для −2 и 2, а также для −1 и 1 находятся на одинаковой высоте.
Задача 2. Найдите значение функции y = x² при x = −3 и значения x, при которых y = 9. В первой части известен аргумент, поэтому подставляем его в формулу. Во второй части известно значение функции, и нужно подобрать все аргументы, квадрат которых равен 9.
Ответ: при x = −3 значение функции равно 9; y = 9 при x = −3 и x = 3. Один положительный корень не является полным ответом, потому что квадрат отрицательного числа тоже может равняться 9. Проверка подстановкой подтверждает оба значения.
Задача 3. Сравните значения функции при x = −4 и x = 3, а затем определите, на каком из промежутков [−4; 0] и [0; 3] функция монотонна. Сначала вычислим значения по формуле, чтобы сравнение не зависело от внешнего вида графика. Затем применим правило изменения функции отдельно слева и справа от вершины.
Ответ: y(−4) = 16, y(3) = 9, поэтому y(−4) > y(3). На [−4; 0] функция убывает, а на [0; 3] возрастает. Не делай вывод о монотонности сразу на всём промежутке от −4 до 3: вершина разделяет его на две части с разным поведением.
Ошибка — считать, что при отрицательном x значение y тоже отрицательно. Так рассуждают, перенося знак аргумента на результат, но квадрат числа всегда неотрицателен. Проверь себя возведением в квадрат: (−3)² = 9, а не −9.
Ошибка — при противоположных аргументах отмечать разные значения функции. Её допускают, если забывают, что при возведении в квадрат знак числа исчезает. Подставь оба аргумента в формулу: (−x)² и x² дают одинаковый результат.
Ошибка — соединять отмеченные точки отрезками, получая ломаную. Таблица содержит лишь несколько значений, а между ними функция принимает и другие значения. Проверь, что точки можно соединить плавной кривой без углов и что кривая сохраняет симметричную форму.
Ошибка — утверждать, что функция возрастает на всей числовой прямой. Слева от нуля при движении к вершине значения уменьшаются, поэтому там функция убывает. Чтобы проверить вывод, сравни квадраты соседних аргументов −3, −2, −1 и 0, а затем отдельно значения справа от нуля.
Для изучения функции полезны координатная плоскость, понятия аргумента и значения функции, а также умение возводить числа в квадрат. Если эти навыки освоены, таблицу значений и точки графика можно построить по формуле. Особенно важно уверенно считать квадрат отрицательного числа.
Функция y = x² станет основой для изучения квадратичной функции y = ax² и преобразований графиков. Сравнивая такие графики с параболой y = x², можно понять, как коэффициент меняет их вид и расположение. Здесь впервые удобно наблюдать, как формула задаёт форму графика.
Парабола и её симметрия пригодятся при решении уравнений и исследовании квадратичных выражений. По графику можно оценить, какие значения принимает выражение и где оно равно нулю. Симметрия помогает находить пары решений и проверять результаты.
Почему график функции y = x² называют параболой?
График y = x² имеет характерную плавную U-образную форму, которую называют параболой. У неё есть вершина в начале координат, а две ветви направлены вверх.
Как быстро построить график функции y = x²?
Выбери несколько значений x, например −2, −1, 0, 1, 2, и вычисли их квадраты. Отметь точки (x; x²), используй симметрию относительно оси y и плавно соедини точки.
Почему у функции y = x² нет отрицательных значений?
При возведении любого числа в квадрат получается число не меньше нуля. Поэтому y = x² всегда положительно или равно нулю, причём ноль получается только при x = 0.
Почему график симметричен относительно оси y?
Противоположные числа имеют одинаковые квадраты: (−x)² = x². Поэтому точки графика с координатами (x; x²) и (−x; x²) находятся на равном расстоянии от оси y.
На каких промежутках функция y = x² убывает и возрастает?
Функция убывает при x ≤ 0: по мере приближения к нулю слева квадраты становятся меньше. При x ≥ 0 она возрастает, потому что с увеличением x его квадрат увеличивается.
§34. Функция у = х^2 и ее график
