§ 34. Функция у = х^2 и ее график

Определения и обозначения

Функция y = x² — правило, по которому каждому числу x соответствует его квадрат. Чтобы найти значение функции, подставь число вместо x и вычисли квадрат: при x = −3 получаем y = (−3)² = 9. Эта запись помогает связать выбранное число с результатом вычисления. Значение y зависит от того, какое число подставили вместо x.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют её формуле. Для функции y = x² каждая точка имеет координаты (x; x²): например, при x = 2 это точка (2; 4). Первое число в записи точки показывает положение по горизонтали, а второе — по вертикали. По графику можно увидеть, как меняется y при изменении x.

Парабола — кривая, которая служит графиком функции y = x². Она похожа на чашу: её ветви направлены вверх, а левая и правая части имеют одинаковую форму. Такая кривая проходит через точки, полученные подстановкой чисел в формулу. Название параболы нужно, чтобы кратко обозначать форму графика.

Вершина параболы — точка, где график y = x² достигает наименьшего значения. Для этой функции вершина имеет координаты (0; 0), поскольку квадрат не может быть отрицательным, а 0² = 0. От вершины удобно описывать, как ведёт себя график слева и справа. Она также помогает быстро находить минимальное значение функции.

Как это устроено

Чтобы построить график, сначала составляют таблицу значений. Выбирают несколько чисел x, подставляют каждое в формулу и вычисляют квадрат: например, для x = −2 получается y = 4, а для x = 1 — y = 1. Так каждое вычисление даёт координату y для одной точки графика. Чем лучше точки охватывают нужную часть плоскости, тем понятнее будет форма кривой.

Удобно выбирать значения x, расположенные симметрично относительно нуля, например −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Причина в том, что квадрат противоположных чисел одинаков: (−2)² = 2² = 4. Поэтому паре чисел −2 и 2 соответствуют точки на одной высоте. Это уменьшает число разных вычислений и сразу показывает симметрию будущего графика.

Отметь на координатной плоскости точки из таблицы и проведи через них плавную кривую. Отрезки не подходят: между выбранными значениями x формула тоже задаёт значения функции, поэтому график не состоит из отдельных прямых частей. Кроме того, отрезки создавали бы углы, которых у параболы нет. Плавная линия должна проходить через отмеченные точки и сохранять форму чаши.

График симметричен относительно оси y, потому что при замене x на −x значение формулы не меняется: (−x)² = x². Значит, если точка (2; 4) лежит на графике, то на нём есть и точка (−2; 4). Эти точки расположены на одинаковой высоте и на одинаковом расстоянии от оси y. Ось y проходит через середину параболы и служит её осью симметрии.

В точке x = 0 функция равна нулю, а при любом другом x квадрат положителен. Если двигаться слева к нулю, значения x² становятся меньше, поэтому функция убывает; после нуля, при движении вправо, они становятся больше, поэтому функция возрастает. Так график сначала спускается к вершине, а затем поднимается. Минимум достигается именно в вершине (0; 0).

Значения функции y = x² и свойства её графика

Первые две строки показывают, как из выбранных x получить значения функции и координаты точек. Остальные строки помогают быстро проверить основные свойства параболы. Используй их, чтобы сверить построенный график: например, он должен быть симметричным и не иметь точек ниже оси x.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите значения функции y = x² при x = −4, −1, 0 и 3. Для каждого числа нужно отдельно подставить его вместо x и возвести в квадрат. Особенно внимательно действуй с отрицательными числами: квадрат относится ко всему числу в скобках. Полученные результаты и будут значениями y.

1. При x = −4: y = (−4)² = 16.
2. При x = −1: y = (−1)² = 1.
3. При x = 0: y = 0² = 0.
4. При x = 3: y = 3² = 9.

Ответ: 16, 1, 0, 9 соответственно. Проверка: значения функции неотрицательны, в том числе при отрицательных x.

Задача 2. Постройте график функции y = x², используя значения x от −3 до 3 с шагом 1. Сначала рассчитай квадраты всех чисел из этого промежутка, затем запиши каждую пару как координаты (x; y). Симметричные значения x дают одинаковую высоту, что помогает проверить вычисления и расположение точек. После этого нанеси точки на координатную плоскость и соедини их плавно.

1. Для x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 вычисли y: 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9.
2. Запиши точки: (−3; 9), (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9).
3. Отметь точки: x откладывай по горизонтальной оси, а y — по вертикальной.
4. Проведи плавную кривую через точки. Проверь, что части слева и справа от оси y совпадают по форме.

Ответ: график — парабола с вершиной (0; 0), проходящая через указанные точки. Между точками её проводят плавно, потому что формула задаёт значения и для всех промежуточных x.

Задача 3. По графику y = x² найдите значения x, при которых y = 4, и укажите все точки пересечения графика с прямой y = 4. Прямая y = 4 горизонтальна, поэтому нужно найти на графике места на высоте 4. Таблица или формула помогут проверить, какие значения x дают эту высоту. Из-за симметрии ожидаются две точки, расположенные по разные стороны оси y.

1. Запиши условие для пересечения: x² = 4.
2. Найди числа, квадрат которых равен 4: это −2 и 2, так как (−2)² = 4 и 2² = 4.
3. Подставь найденные x в координаты точек: при каждом из них y = 4.

Ответ: x = −2 и x = 2; точки пересечения — (−2; 4) и (2; 4). Других пересечений нет: уравнение x² = 4 имеет только эти два решения.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что (−x)² = −x², например получать для (−3)² ответ −9. Так происходит, если минус перед числом принимают за знак результата, не возводя в квадрат всё число. Квадрат отрицательного числа положителен: (−3) · (−3) = 9. Проверяй себя умножением числа на само себя или записывай отрицательное число в скобках.

Ошибка: откладывать y по горизонтальной оси, а x — по вертикальной. Обычно это происходит из-за путаницы в порядке координат точки (x; y). Первая координата всегда показывает движение по горизонтали, вторая — по вертикали. Перед нанесением точки выпиши её пару и проверь, что сначала используешь x.

Ошибка: строить график только для неотрицательных значений x и оставлять без внимания левую часть. Такой выбор упускает точки с отрицательными x, хотя формула y = x² определена и для них. В результате вместо полной параболы получается только одна её половина. Проверь себя: для каждого выбранного положительного x добавь противоположное число −x и вычисли его квадрат.

Ошибка: соединять точки отрезками или проводить кривую не через них. Отрезки появляются, когда забывают, что промежуточные значения x тоже имеют свои значения y; неточное положение точек часто связано с ошибками в таблице. Сначала пересчитай квадраты и проверь координаты, затем наноси точки по масштабу. Соединяй их плавной кривой, которая соответствует формуле и сохраняет симметрию.

Связь с другими темами

Для работы с y = x² нужны навыки возведения целых чисел в квадрат, подстановки чисел в формулы и построения точек на координатной плоскости. Если эти действия знакомы, можно сосредоточиться на форме графика и его свойствах. Таблица значений связывает вычисления по формуле с геометрическим изображением функции. Это общий способ изучать графики разных зависимостей.

График y = x² пригодится при изучении квадратичных функций, где к квадрату переменной добавляются другие слагаемые или коэффициенты. Он также помогает решать уравнения и неравенства графическим способом: решения можно искать по пересечениям графиков или по участкам, где выполняется нужное условие. Понимание симметрии и вершины упрощает такой анализ. Поэтому свойства параболы используются и в последующих темах алгебры.

Что запомнить

• Функция задаётся формулой y = x².
• График функции y = x² — парабола.
• Вершина параболы находится в точке (0; 0).
• График симметричен относительно оси y.
• Область определения функции — все действительные числа.
• Множество значений функции — неотрицательные числа.
• Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0.