"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Тождество — равенство, которое остаётся верным при всех допустимых значениях переменных. С его помощью можно обосновать преобразование выражения: заменить его другим, но равным по значению. Чтобы доказать тождество, преобразуют одну часть в другую или обе части — в одно выражение. При этом нужно следить за вычислениями и учитывать, при каких значениях исходные выражения имеют смысл.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Допустимыми называют значения, при которых все выражения в записи имеют смысл. Это определение помогает отличать общее равенство от равенства, которое случайно выполняется для отдельных чисел.
Тождественно равные выражения — выражения, значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменных. Например, 2(x + 1) и 2x + 2 дают один результат при любом x. Понятие нужно, чтобы обоснованно заменять одно выражение другим и упрощать записи.
Тождественное преобразование — замена выражения тождественно равным ему выражением. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых — примеры таких преобразований. Они позволяют менять вид записи, не меняя её значения на допустимых значениях переменных.
Доказательство тождества — последовательное обоснование того, что левая и правая части равны при всех допустимых значениях переменных. Каждый шаг должен сохранять равенство. Доказательство нужно, чтобы установить общий результат, а не проверить его лишь на нескольких примерах.
Не всякое равенство является тождеством: например, x + 2 = 5 верно только при x = 3, тогда как 3(x + 2) = 3x + 6 выполняется при любом x. Причина различия в том, что первое равенство задаёт условие на переменную, а второе получается из раскрытия скобок. Чтобы отличить эти случаи, проверяют не только отдельные числа, но и общий вид выражений. Подстановка помогает найти ошибку или догадаться о результате, однако сама по себе не доказывает его для всех значений.
У каждого выражения есть область допустимых значений — числа, при которых его можно вычислить. Например, в выражении 1/(x − 2) нельзя брать x = 2, потому что делить на ноль нельзя. Поэтому преобразование равенства обосновывают только на значениях, где исходные части определены. Если в ходе работы появились дроби или знаменатели, ограничения нужно сохранить до конца доказательства.
Чаще всего доказывают тождество, преобразуя одну часть равенства. Выбирают левую или правую часть, раскрывают скобки, выполняют действия и приводят подобные слагаемые, пока не получится другая часть. Такой путь удобен, если одна сторона заметно сложнее другой. Запись промежуточных шагов показывает, откуда взялся результат, и помогает отследить знаки.
Есть и другой способ: преобразовать обе части равенства. Если каждая из них после допустимых преобразований превращается в одно и то же выражение, исходные части равны между собой. Этот подход полезен, когда обе стороны выглядят сложными или ни одна не кажется удобной для преобразования. При этом для каждой цепочки нужно обосновать шаги и учитывать допустимые значения.
Раскрывая скобки, умножают каждый член внутри скобок на множитель снаружи; при приведении подобных складывают коэффициенты при одинаковых переменных. В дробях нельзя сокращать слагаемые: сокращают только общие множители, причём учитывают, что знаменатель не равен нулю. Эти правила важны не сами по себе, а потому, что ошибка в знаке или пропущенное ограничение могут изменить выражение либо область, где равенство имеет смысл. После преобразований полезно проверить вычисления обратным раскрытием скобок или подстановкой чисел как дополнительной проверкой.
| Запись | Допустимые значения | Верно ли при всех допустимых значениях | Вывод |
|---|---|---|---|
| 2(x + 1) = 2x + 2 | Все действительные x | Да | Тождество |
| x + 2 = 5 | Все действительные x | Нет, только при x = 3 | Равенство для отдельного значения |
| (x + 1)/(x − 2) = 1 | x ≠ 2 | Нет, например при x = 0 левая часть равна −½ | Не тождество |
Сначала найдите допустимые значения: это особенно важно, если переменная есть в знаменателе. Затем решите, выполняется ли равенство при каждом из них, а не только при удобном примере. Если нашли допустимое значение, при котором стороны различаются, тождеством равенство не является.
Задача 1. Проверьте, является ли равенство 3(x + 2) = 3x + 6 тождеством. Здесь переменная входит только в сумму и произведение, поэтому допустимо любое действительное x. Чтобы проверить равенство в общем виде, раскроем скобки слева и сравним результат с правой частью.
Умножаем каждое слагаемое в скобках на 3: 3(x + 2) = 3x + 6. Так раскрываются скобки с положительным множителем.
Полученное выражение совпадает с правой частью. Поскольку преобразование верно для любого x, совпадение не зависит от выбора числа.
Ответ: равенство является тождеством.
Задача 2. Докажите тождество 2(a + 3) − a = a + 6. Удобно начать с левой части: в ней есть скобки и подобные слагаемые. Преобразуем её так, чтобы получить правую часть, не выбирая конкретного значения a.
Раскрываем скобки: 2(a + 3) − a = 2a + 6 − a. Множитель 2 умножается и на a, и на 3.
Приводим подобные слагаемые: 2a − a = a, поэтому левая часть равна a + 6. Это и есть правая часть, а ограничений на a нет.
Ответ: тождество доказано.
Задача 3. Докажите тождество (x + 2)(x − 2) + 4 = x². Сначала преобразуем левую часть. При умножении двух скобок важно перемножить каждый член первой скобки с каждым членом второй и сохранить знаки.
Раскрываем скобки: (x + 2)(x − 2) = x² − 2x + 2x − 4. Средние слагаемые получаются при перекрёстном умножении.
Добавляем 4 и приводим подобные: x² − 2x + 2x − 4 + 4 = x². Слагаемые с x и числа взаимно сокращаются.
Левая часть превратилась в правую, причём в записи нет деления и ограничений на x. Значит, равенство верно при любом действительном x.
Ответ: тождество доказано.
Проверить равенство при одном или нескольких значениях и объявить его тождеством — недостаточно. Так делают, потому что подстановка даёт быстрый и наглядный результат, но она проверяет только выбранные числа. Для самопроверки спросите себя, доказано ли равенство для любого допустимого значения; если нет, выполните преобразования.
Иногда равенство, верное лишь для отдельных значений, принимают за тождество. Например, x + 2 = 5 выполняется при x = 3, но при x = 0 стороны не равны. Ошибка возникает, если не учитывать переменную как произвольное число. Проверьте общий вид: достаточно найти допустимое значение, при котором стороны различаются, чтобы опровергнуть тождество.
При выражениях с переменной в знаменателе нельзя забывать о недопустимых значениях. Например, в 1/(x − 2) значение x = 2 запрещено, и доказательство исходного равенства не относится к нему. Ограничение часто упускают после сокращения дроби или преобразования знаменателя. Перед решением и в конце проверьте, при каких значениях определены исходные части.
Ошибки при раскрытии скобок и приведении подобных могут создать ложное доказательство. Часто теряют минус перед скобками или неверно складывают коэффициенты, потому что делают несколько действий в уме. Записывайте промежуточные выражения и проверяйте умножение каждого слагаемого. Подстановка любого допустимого числа может обнаружить вычислительную ошибку, но не заменяет доказательство.
Для работы с тождествами нужно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и находить допустимые значения переменной. Эти навыки уже знакомы по упрощению выражений и помогают выполнять доказательство без лишних ошибок. Тождественные преобразования затем используют, чтобы приводить выражения к удобному виду и решать уравнения. Понимание тождества также подготавливает к изучению алгебраических формул и преобразованию более сложных выражений.
Чем тождество отличается от обычного равенства?
Тождество верно при каждом допустимом значении переменных. Обычное равенство может выполняться только при некоторых значениях, например x + 2 = 5 верно лишь при x = 3.
Как проверить, является ли равенство тождеством?
Проверьте допустимые значения переменных и преобразуйте одну часть равенства. Если для всех допустимых значений она превращается в другую часть, равенство является тождеством.
Можно ли доказать тождество проверкой нескольких значений?
Нет: несколько подстановок показывают лишь, что равенство верно для выбранных значений. Чтобы доказать тождество, нужно обосновать его для всех допустимых значений.
Обязательно ли преобразовывать именно левую часть равенства?
Нет, можно преобразовать правую часть или обе части. Достаточно показать, что обе стороны равны одному и тому же выражению при всех допустимых значениях.
Почему при доказательстве тождества нужно учитывать допустимые значения переменных?
Исходные выражения могут быть не определены при некоторых значениях, например если переменная обращает знаменатель в ноль. Равенство доказывают только там, где обе его части имеют смысл.
§ 33. Тождества
