§ 42. Тождества

Определения и обозначения

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Допустимыми называют такие значения, при которых обе части равенства имеют смысл. Это определение нужно, чтобы отличать равенство, верное всегда, от равенства, которое выполняется лишь при отдельных значениях.

Тождественно равные выражения — выражения, принимающие одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Например, 2(x + 3) и 2x + 6 тождественно равны: какое бы допустимое значение x мы ни взяли, их значения совпадут. Понятие помогает заменять выражение более удобным, не меняя его значения.

Тождественное преобразование — замена выражения другим, тождественно ему равным. Раскрывая скобки или приводя подобные слагаемые, мы выполняем именно такую замену. Это нужно, чтобы упрощать записи и доказывать равенства, сохраняя значения выражений.

Допустимые значения переменной — значения, при которых все выражения в равенстве имеют смысл. Например, в дроби (x + 1)/(x − 2) нельзя подставить x = 2, потому что делить на ноль нельзя. Поэтому область допустимых значений задаёт, для каких x вообще можно проверять равенство.

Как это устроено

Чтобы равенство было тождеством, его левая и правая части должны совпадать при любом допустимом значении переменной. Подстановка одного числа проверяет только один случай: в другом случае равенство может нарушиться. Поэтому даже несколько удачных проверок не дают доказательства — подходящих значений может быть много, а способов проверить их все по одному нет.

Проверить равенство можно, упростив обе его части отдельно. Если после преобразований получились одинаковые выражения, то при допустимых значениях они принимают одинаковые значения. Этот способ удобен, когда обе части выглядят сложными: каждая упрощается по своим правилам, а затем результаты легко сравнить.

Часто достаточно преобразовать одну часть равенства до вида другой. Например, если из левой части с помощью верных правил получается правая, значит, исходные части равны при всех значениях, для которых эти преобразования допустимы. Такой ход экономит вычисления, потому что не нужно менять обе стороны одновременно.

Раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и свойства арифметических действий дают тождественные преобразования. Например, распределительное свойство показывает, что 3(x + 2) = 3x + 6: множитель 3 умножается на каждый член в скобках. Подобные слагаемые можно объединять, потому что складываются коэффициенты при одной и той же переменной, а сама переменная остаётся общей.

При каждом преобразовании нужно сохранять область допустимых значений. Делить на выражение можно лишь там, где оно не равно нулю: если забыть это условие, можно включить значение, при котором исходная дробь не имеет смысла. Поэтому перед сокращением или делением выясняют, может ли выбранное выражение обратиться в ноль, и записывают нужное ограничение.

Способы проверки и доказательства тождеств

Выбирай способ по виду равенства: если проще раскрыть скобки слева, преобразуй левую часть; если части обе сложные, упрости каждую. Подстановка полезна, чтобы быстро проверить вычисления или обнаружить возможную ошибку, но не заменяет доказательство.

Разбор задач

Проверьте, является ли равенство 3(x + 2) = 3x + 6 тождеством.

Нужно выяснить, совпадают ли части не для одного выбранного x, а при любом значении. В равенстве нет дробей и других выражений с ограничениями, поэтому x может быть любым числом. Удобнее всего раскрыть скобки слева и сравнить получившееся выражение с правой частью.

1. Раскроем скобки в левой части по распределительному свойству: 3(x + 2) = 3 · x + 3 · 2.
2. Выполним умножение: 3x + 6 = 3x + 6.
3. Левая и правая части совпали, значит, равенство верно при любом x.

Ответ: равенство является тождеством. Проверка основана на преобразовании выражения, поэтому она охватывает все значения переменной, а не только несколько числовых примеров.

Докажите тождество 2(a + 3) − a = a + 6.

Чтобы доказать равенство, можно изменить только левую часть и посмотреть, получится ли правая. Выберем этот способ, потому что слева есть скобки и подобные слагаемые, которые легко упростить. Ограничений на a здесь нет: в выражении только сложение, умножение и вычитание.

1. Раскроем скобки, умножив 2 на каждый член внутри них: 2(a + 3) − a = 2a + 6 − a.
2. Соберём подобные слагаемые 2a и −a: 2a − a = a.
3. Получим 2a + 6 − a = a + 6. Это правая часть исходного равенства.

Ответ: тождество доказано. Мы использовали распределительное свойство и привели подобные слагаемые, не изменив значения выражения.

При каких допустимых значениях x верно равенство (x² − 1)/(x − 1) = x + 1?

Сначала найдём, где исходная левая часть имеет смысл: её знаменатель не должен быть равен нулю. Затем разложим числитель на множители и сократим общий множитель, не забывая проверить условие для сокращения. Такой порядок помогает не принять запрещённое значение за подходящее.

1. Из знаменателя получаем ограничение x − 1 ≠ 0, то есть x ≠ 1.
2. Разложим разность квадратов: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
3. При x ≠ 1 сократим общий множитель x − 1: (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1.

Ответ: равенство верно при всех x ≠ 1. При x = 1 исходная дробь не определена, поэтому это значение нельзя включить, даже если выражение x + 1 при нём имеет смысл.

Типичные ошибки

Проверить равенство на одном или нескольких числах и объявить его тождеством — ошибка: подстановка подтверждает только выбранные случаи. Её допускают, потому что примеры быстро считаются и часто дают одинаковый результат. Для самопроверки спроси себя, доказал ли ты равенство при любом допустимом значении; нужны преобразования, а не только подстановки.

При раскрытии скобок иногда умножают внешний множитель только на первый член: например, ошибочно записывают 3(x + 2) как 3x + 2. Так происходит, если забыть распределительное свойство. Проверь себя, умножив внешний множитель на каждый член в скобках: верный результат — 3x + 6.

Нельзя сокращать слагаемые в сумме так, как сокращают общие множители в произведении. Например, в дроби (x + 2)/x нельзя просто «убрать» x из числителя и знаменателя: числитель является суммой, а не произведением. Перед сокращением проверь, можно ли представить числитель и знаменатель как произведения с общим множителем.

После сокращения или деления легко потерять ограничение на переменную. Так происходит, когда замечают общий множитель, но не проверяют, при каких значениях он обращается в ноль. Сначала запиши условие, что делитель не равен нулю, а затем сокращай; в конце убедись, что исключённые значения не попали в ответ.

Связь с другими темами

Для тождественных преобразований нужны распределительное свойство умножения, правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Они позволяют переходить от одной формы выражения к другой, не меняя её значения. Если эти действия пока вызывают трудности, полезно отдельно потренироваться на простых выражениях.

Тождественные преобразования пригодятся при упрощении выражений и решении уравнений. Упрощённую запись легче сравнивать и использовать в вычислениях, а равносильные преобразования помогают привести уравнение к более удобному виду. При этом, как и в тождествах, нужно следить, чтобы допустимые значения не изменились незаметно.

Что запомнить

• Тождество верно при всех допустимых значениях переменных.
• Проверка на отдельных значениях не заменяет доказательство.
• Для доказательства часто преобразуют одну часть равенства до другой.
• Каждое преобразование должно сохранять равенство выражений.
• При делении и сокращении нужно учитывать, что знаменатель не равен нулю.