§ 41. Сокращение алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями, например 3x/(x + 1). Числитель стоит над чертой, знаменатель — под ней. Дробь имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю, поэтому это условие нужно проверять до вычислений.

Сокращение алгебраической дроби — замена её равной дробью с меньшими числителем и знаменателем: для этого оба делят на один и тот же общий множитель. Значение дроби при этом не меняется, как и при сокращении обычной дроби. Сокращение помогает упростить запись и облегчает дальнейшие вычисления.

Общий множитель — выражение, которое входит множителем и в числитель, и в знаменатель. Например, в дроби 6x/(9x) общие множители — 3 и x. Сокращают именно множители произведения, а не отдельные слагаемые: это различие помогает не изменить дробь ошибочным действием.

Допустимые значения переменной — значения, при которых знаменатель исходной дроби не обращается в ноль. Например, для дроби 1/(x − 4) значение x = 4 недопустимо. Такие значения нужно выяснить, чтобы не выполнять действия с дробью, которая не имеет смысла.

Как это устроено

Перед сокращением числитель и знаменатель раскладывают на множители, то есть представляют как произведения. В сумме общий множитель может быть неочевиден, а в произведении его можно сравнить с множителями другой части дроби. Например, разложение x² − 9 на (x − 3)(x + 3) сразу показывает множители, которые можно искать в знаменателе. Поэтому разложение помогает увидеть, есть ли что сокращать.

Если числитель и знаменатель записаны произведениями, общий множитель можно разделить и сверху, и снизу. Это не меняет дробь: деление обеих частей отношения на одно и то же ненулевое число или выражение сохраняет их отношение. Например, дробь 6x/(9x) при x ≠ 0 можно разделить сверху и снизу на 3x. Получается 2/3, но только для тех значений, при которых деление допустимо.

Многочлен сначала требуется разложить на множители, потому что его слагаемые сами по себе не дают права на сокращение. Например, в x + 2 буква x не является множителем всей суммы: выражение состоит из двух слагаемых. Если в числителе есть сумма, нужно найти способ представить её произведением, прежде чем искать общий множитель. Иначе одинаковая буква может быть ошибочно удалена лишь из части выражения.

Сокращение не отменяет ограничений исходной дроби, потому что значение переменной, при котором исходный знаменатель равен нулю, изначально не допускалось. После преобразования знаменатель может стать проще и перестать показывать запрещённое значение. Поэтому ограничения находят по исходному знаменателю и записывают отдельно. Это сохраняет область допустимых значений исходной дроби.

Проверяя результат, сначала убедитесь, что разложили числитель и знаменатель на множители и сократили только общие множители. Затем найдите нули исходного знаменателя и укажите, какие значения переменной исключены. Наконец, проверьте, не осталось ли в числителе и знаменателе одинаковых множителей. Такая проверка охватывает и само преобразование, и допустимость ответа.

Как распознать и сократить общий множитель

В таблице собраны типичные формы записи и подсказки, как действовать в каждой из них.

Сначала определите, записаны ли числитель и знаменатель произведениями. Если это многочлены, попробуйте разложить их на множители и сравните полученные произведения. После сокращения отдельно запишите ограничения по исходному знаменателю.

Разбор задач

Задача 1

Сократить дробь 12a/18a и указать допустимые значения a. Сначала проверяем исходный знаменатель: 18a не должен равняться нулю. Значит, a ≠ 0; это условие нужно сохранить, даже если буква исчезнет при сокращении.

1. Разложим числа на множители: 12a = 6 · 2 · a, а 18a = 6 · 3 · a.
2. В числителе и знаменателе есть общий множитель 6a. Делить на него можно, поскольку при допустимых значениях a он не равен нулю.
3. После деления получаем 2/3. Допустимое значение — a ≠ 0.

Ответ: 2/3, если a ≠ 0. Дробь стала проще, но условие возникло из знаменателя исходной записи.

Задача 2

Сократить дробь (x² − 9)/(x² + 3x) и указать допустимые значения x. Найдём их до сокращения: знаменатель x² + 3x равен x(x + 3), поэтому он обращается в ноль при x = 0 или x = −3. Эти два значения нельзя будет вернуть в ответ, даже если часть знаменателя сократится.

1. Разложим числитель как разность квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. Разложим знаменатель, вынеся x: x² + 3x = x(x + 3).
3. Сократим общий множитель x + 3. Получаем (x − 3)/x, сохраняя ограничения x ≠ 0 и x ≠ −3.

Ответ: (x − 3)/x, если x ≠ 0 и x ≠ −3. Значение −3 остаётся запрещённым из-за исходного знаменателя.

Задача 3

Сократить дробь (2x² − 8x)/(x² − 16) и указать допустимые значения x. В исходном знаменателе разность квадратов: x² − 16 = (x − 4)(x + 4), поэтому запрещены x = 4 и x = −4. Сначала разложим обе части на множители, чтобы не пропустить общий множитель.

1. В числителе вынесем общий множитель 2x: 2x² − 8x = 2x(x − 4).
2. Знаменатель разложим на множители: x² − 16 = (x − 4)(x + 4).
3. Сократим общий множитель x − 4. Получим 2x/(x + 4), сохранив оба ограничения исходной дроби.

Ответ: 2x/(x + 4), если x ≠ 4 и x ≠ −4. Хотя множитель x − 4 исчез, значение x = 4 по-прежнему недопустимо.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сокращать слагаемые, например пытаться убрать x в дроби (x + 2)/x. Так поступают, потому что одинаковая буква видна сверху и снизу, но числитель здесь является суммой, а не произведением. Проверьте, можно ли представить обе части произведениями с общим множителем: если нет, сокращать нечего. Подстановка числа тоже может показать, что ошибочное действие изменило значение дроби.

Вторая ошибка — не разложить многочлены на множители и из-за этого не заметить общий множитель. Например, в записи x² − 9 он не виден так же ясно, как после разложения (x − 3)(x + 3). Разложите каждую часть дроби и сопоставьте множители. Если многочлен уже является произведением, повторное разложение не требуется.

Третья ошибка — сокращать на выражение, которое может равняться нулю, и не учитывать это условие. Делить на ноль нельзя, поэтому при сокращении на x нужно потребовать x ≠ 0, если это значение не исключено уже исходным знаменателем. Проверьте, обращается ли сокращаемый множитель в ноль. Если да, соответствующее значение должно быть запрещено.

Четвёртая ошибка — после сокращения забыть значения, запрещённые исходным знаменателем. Новый знаменатель может не содержать множитель, который сократили, и тогда ограничение легко потерять. Найдите нули знаменателя до преобразования и запишите их отдельно. В конце сравните ответ с этим списком: ни одно запрещённое значение не должно стать допустимым.

Связь с другими темами

Для сокращения дробей нужны знания о числителе и знаменателе, свойствах частного, действиях с одночленами и разложении многочлена на множители. Особенно важно уметь выносить общий множитель и узнавать разность квадратов. Эти приёмы помогают перейти от многочлена к произведению, которое можно сравнить с другой частью дроби.

Упрощённые алгебраические дроби пригодятся при их сложении, вычитании, умножении и делении. Сокращение также используют при преобразовании рациональных выражений — выражений, содержащих дроби с переменными. Чем лучше освоено разложение на множители, тем легче выполнять такие действия без лишних вычислений.

Что запомнить

• Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя.
• Слагаемые сокращать нельзя.
• Многочлены перед сокращением раскладывают на множители.
• Делить числитель и знаменатель нужно на один и тот же ненулевой множитель.
• Допустимые значения определяют по знаменателю исходной дроби.
• После сокращения ограничения на переменную не исчезают.