§ 35. Сокращение алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями, например 3x/(x + 1). Знаменатель такой дроби не должен быть равен нулю. Это условие нужно учитывать, чтобы дробь имела смысл при выбранном значении переменной.

Сокращение алгебраической дроби — деление её числителя и знаменателя на один и тот же общий множитель, отличный от нуля. Например, в дроби 6x/(9x) можно разделить обе части на 3x, если x ≠ 0. Сокращение помогает записать дробь проще, не меняя её значения при допустимых значениях переменной.

Общий множитель — выражение, на которое без остатка делятся и числитель, и знаменатель. Так, у произведений 2x(x + 1) и 5(x + 1) общим множителем является x + 1. Поиск таких множителей показывает, какие части дроби можно сократить.

Допустимые значения переменной — значения, при которых знаменатель исходной дроби не равен нулю. Их находят до преобразований, подставляя вместо знаменателя ноль и решая полученное уравнение. Эти значения помогают правильно записать область, в которой исходная дробь определена.

Как это устроено

Сначала выясняют, когда исходный знаменатель равен нулю, и исключают найденные значения. Это делают до преобразования, потому что дробь с нулевым знаменателем не определена. Последующее упрощение не может сделать такое исходное выражение допустимым: например, сокращение иногда убирает из знаменателя множитель, который и давал ноль.

Дробь можно сократить, потому что её числитель и знаменатель делят на одно и то же ненулевое выражение. Это похоже на основное свойство числовой дроби: например, 6/9 = 2/3, так как обе части разделили на 3. Для алгебраической дроби такое преобразование верно только при тех значениях переменной, когда сокращаемый множитель не равен нулю.

Общий множитель бывает трудно заметить, если числитель и знаменатель записаны суммами. Вынесение общего множителя за скобки показывает выражение как произведение, например x² + 3x = x(x + 3). Сократить здесь можно множитель x в дроби x(x + 3)/x, но нельзя вычеркнуть одинаковые слагаемые из суммы: слагаемые не являются общими множителями всего числителя и знаменателя.

Чтобы обнаружить общие множители, числитель и знаменатель раскладывают на множители. Можно вынести общий множитель за скобки, а можно применить формулы сокращённого умножения: например, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), поскольку это разность квадратов. После разложения произведения удобнее сравнить: одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить, если они не равны нулю.

После сокращения записывают полученную дробь и ограничения, найденные по первоначальному знаменателю. Это нужно, потому что сокращение меняет вид выражения, но не возвращает в область допустимых значений исключённые числа. Поэтому сначала решают уравнение с исходным знаменателем, а затем выполняют преобразования и переносят все ограничения в ответ.

Порядок сокращения алгебраической дроби

Пользуйся таблицей по порядку: сначала определи допустимые значения, затем преобразуй числитель и знаменатель. Не переходи к сокращению, пока не представишь оба выражения произведениями. В конце проверь, что ограничения из исходной дроби указаны рядом с результатом.

Разбор задач

Задача 1. Сократите дробь 6x²/(9x), указав допустимые значения x. Сначала проверим исходный знаменатель: 9x равен нулю при x = 0, поэтому это значение запрещено. Затем представим числитель и знаменатель как произведения и сократим общий ненулевой множитель.

1. Из условия 9x ≠ 0 получаем x ≠ 0. При этих значениях переменной общий множитель 3x не равен нулю.
2. Записываем дробь как (3 · 2 · x · x)/(3 · 3 · x). В числителе и знаменателе есть общий множитель 3x.
3. Делим обе части на 3x и получаем 2x/3. Ограничение x ≠ 0 сохраняем, потому что оно найдено по исходному знаменателю.

Ответ: 2x/3, x ≠ 0. Сократить здесь можно множитель x, но нельзя забыть, что он не должен быть равен нулю.

Задача 2. Сократите дробь (x² − 9)/(x² + 3x), указав допустимые значения x. У знаменателя есть два множителя, поэтому он обращается в ноль при двух значениях. Разложение числителя тоже важно: только после него становится виден общий множитель.

1. Решаем x² + 3x = 0: выносим x за скобки и получаем x(x + 3) = 0. Значит, x ≠ 0 и x ≠ −3.
2. Разлагаем числитель как разность квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Знаменатель уже записан произведением x(x + 3).
3. Сокращаем общий множитель x + 3 и получаем (x − 3)/x. Делить на него можно при x ≠ −3, что уже входит в ограничения исходной дроби.

Ответ: (x − 3)/x, x ≠ 0, x ≠ −3. Значение −3 остаётся запрещённым, хотя после сокращения выражение при нём выглядит определённым.

Задача 3. Сократите дробь (a² − 2ab + b²)/(a² − b²), указав допустимые значения переменных. В знаменателе разность квадратов, поэтому его нули определяются двумя множителями. В числителе находится квадрат разности; после раскрытия формул общий множитель станет заметен.

1. Разлагаем знаменатель: a² − b² = (a − b)(a + b). Он равен нулю, если a = b или a = −b, поэтому нужно указать a ≠ b и a ≠ −b.
2. Числитель — квадрат разности: a² − 2ab + b² = (a − b)². Тогда дробь принимает вид (a − b)(a − b)/((a − b)(a + b)).
3. Сокращаем общий множитель a − b. Это допустимо, поскольку условие a ≠ b уже найдено из исходного знаменателя.

Ответ: (a − b)/(a + b), a ≠ b и a ≠ −b. Оба ограничения сохраняются, так как исходный знаменатель обращался в ноль при каждом из этих условий.

Типичные ошибки

Ошибка: сокращать одинаковые слагаемые в числителе и знаменателе. Например, в суммах нельзя просто убрать одинаковую букву или число: сокращают только множители произведений. Такую ошибку допускают, принимая слагаемые за отдельные множители; проверь себя разложением числителя и знаменателя на произведения.

Ошибка: делить числитель и знаменатель на выражение, которое может равняться нулю. Сокращаемый множитель должен быть ненулевым, иначе деление на него не разрешено. Чтобы проверить действие, найди значения, при которых множитель равен нулю, и сравни их с ограничениями исходной дроби.

Ошибка: забывать ограничения после сокращения. Иногда запрещённое значение больше не обнуляет новый знаменатель, но исходная дробь при нём всё равно не была определена. Это происходит, если смотреть только на окончательную запись; проверка проста — вернись к исходному знаменателю и выпиши все его нули.

Ошибка: неверно разложить выражение на множители или остановиться до полного разложения. Тогда общий множитель может остаться незамеченным либо можно сократить то, чего в произведениях на самом деле нет. Проверь разложение умножением скобок и убедись, что числитель и знаменатель представлены полностью.

Связь с другими темами

Перед сокращением полезно уметь раскладывать многочлены на множители: выносить общий множитель за скобки и применять формулы сокращённого умножения. Само правило сокращения опирается на основное свойство числовой дроби и требует уверенно выполнять действия с отрицательными и буквенными выражениями. Упрощённые дроби затем удобнее складывать, вычитать, умножать и делить, поэтому сокращение помогает и в следующих темах.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю.
• Перед сокращением найди допустимые значения переменной по исходному знаменателю.
• Сокращают общие множители, а не отдельные слагаемые.
• Чтобы увидеть общие множители, разложи числитель и знаменатель на множители.
• Числитель и знаменатель делят на один и тот же ненулевой множитель.
• Ограничения исходной дроби сохраняются и после сокращения.