§ 32. Сокращение алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Например, в дроби (x + 1)/(x − 2) и сверху, и снизу записаны выражения с переменной. Знаменатель такой дроби не может быть равен нулю, поэтому значения переменной, обращающие его в ноль, исключают.

Общий множитель — выражение, на которое без остатка делятся и числитель, и знаменатель дроби. Например, у чисел 6x² и 9x общий множитель — 3x. Его поиск нужен, чтобы понять, можно ли упростить дробь и какие части числителя и знаменателя можно разделить на одно и то же выражение.

Сокращение алгебраической дроби — деление числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой общий множитель. После такого деления получается более короткая запись той же дроби. Условие «ненулевой» обязательно: на ноль делить нельзя, а значит, нужно учитывать значения переменной, при которых выбранный множитель обращается в ноль.

Допустимые значения переменной — значения, при которых знаменатель исходной дроби не обращается в нуль. Их находят до преобразований, решая уравнение «знаменатель равен нулю». Эти ограничения показывают, при каких значениях дробь имеет смысл, и помогают не включить в ответ запрещённые значения.

Как это устроено

Сокращение основано на том, что дробь не меняется, если числитель и знаменатель разделить на одно и то же ненулевое число. То же правило действует, когда вместо числа берут выражение: при каждом допустимом значении переменной оно задаёт ненулевой множитель. Например, дроби 6/9 и 2/3 равны, потому что обе части первой дроби разделили на 3. Если общий множитель может оказаться нулём, сокращение применимо лишь там, где он не равен нулю.

Допустимые значения находят по исходному знаменателю, ещё до сокращения. Для этого приравнивают его к нулю и решают полученное уравнение: его корни являются запрещёнными значениями переменной. Например, если знаменатель равен x(x + 3), уравнение x(x + 3) = 0 даёт x = 0 и x = −3. Эти значения нельзя подставлять в исходную дробь, даже если позднее её запись изменится.

Общий множитель не всегда заметен в записи, поэтому числитель и знаменатель часто раскладывают на множители. Разложить выражение — значит представить его как произведение более простых выражений. Например, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), потому что это разность квадратов, а x² + 3x = x(x + 3), потому что из обоих слагаемых можно вынести x. Сравнив множители, легко увидеть общий x + 3.

Когда одинаковые множители найдены, числитель и знаменатель делят на каждый из них. Слагаемые так сократить нельзя: сумма x + 3 не является произведением x и 3, поэтому «убрать» x в дроби (x + 3)/x нельзя. Сокращать можно только одинаковые части произведений, записанных в числителе и знаменателе. Если разложения не содержат общего множителя, дробь таким способом сократить нельзя.

После сокращения ограничения исходной дроби остаются, потому что преобразование не меняет того, где исходная запись имела смысл. Например, в дроби x/x можно сократить x и получить 1, но исходная дробь не определена при x = 0. Запись 1 сама по себе такого запрета не показывает, поэтому рядом с результатом всё равно указывают x ≠ 0. Именно поэтому допустимые значения проверяют до сокращения.

Основные действия при сокращении алгебраических дробей

Пользуйся таблицей по порядку: сначала проверь, где исходная дробь определена, и только потом преобразуй её. Если общего множителя нет, остановись и не пытайся сократить отдельные слагаемые. В записи ответа сохрани ограничения, найденные на первом этапе.

Разбор задач

Сократить дробь 6x²/9x

1. Сначала проверим знаменатель: 9x не равен нулю, если x ≠ 0. Значит, значение x = 0 запрещено для исходной дроби.
2. Разложение уже почти готово: 6x² = 3x · 2x, а 9x = 3x · 3. Общий множитель числителя и знаменателя — 3x.
3. Делим обе части дроби на 3x. Получаем 2x/3; сокращение допустимо при x ≠ 0, что совпадает с ограничением исходного знаменателя.

Ответ: 2x/3, x ≠ 0.

Сократить дробь (x² − 9)/(x² + 3x)

1. Найдём ограничения по исходному знаменателю: x² + 3x = x(x + 3). Он равен нулю при x = 0 или x = −3, поэтому эти значения исключаем.
2. Разложим числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Знаменатель уже представлен произведением x(x + 3).
3. В числителе и знаменателе есть общий множитель x + 3. Делим обе части дроби на него и получаем (x − 3)/x, сохраняя оба ограничения исходной дроби.

Ответ: (x − 3)/x, x ≠ 0 и x ≠ −3.

Сократить дробь (2x² − 8x)/(x² − 4x + 4)

1. По исходному знаменателю найдём запрет: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Он обращается в ноль при x = 2, значит, x ≠ 2.
2. Разложим числитель: 2x² − 8x = 2x(x − 4). В числителе получились множители 2, x и x − 4, а в знаменателе — два множителя x − 2.
3. Одинакового множителя сверху и снизу нет. Множители 2x нельзя сократить с (x − 2)², поэтому дробь в таком виде сократить нельзя; ограничение x ≠ 2 сохраняется.

Ответ: дробь не сокращается, x ≠ 2. Проверка разложений помогает не выполнить неверное сокращение: в этой задаче общего множителя нет.

Типичные ошибки

Ошибка: сокращать слагаемые, например в (x + 3)/x «убирать» x. Так делают, потому что замечают одинаковую букву в числителе и знаменателе, но x + 3 — сумма, а не произведение x и 3. Проверь себя: можно ли представить числитель и знаменатель как произведения с одинаковым множителем? Если нет, сокращать нечего.

Ошибка: делить на множитель, который может быть равен нулю, не учитывая это условие. Причина — забывают, что сокращение означает деление, а на ноль делить нельзя. Проверь, при каких значениях выбранный множитель обращается в ноль, и сопоставь их с допустимыми значениями исходной дроби.

Ошибка: не находить допустимые значения по исходному знаменателю. Тогда в ответ могут попасть значения, при которых первоначальная дробь не существовала. Перед преобразованием приравняй исходный знаменатель к нулю и выпиши все корни отдельно.

Ошибка: забывать ограничения после сокращения, если запрещённое значение исчезло из знаменателя. Так происходит, потому что сокращённая запись может выглядеть определённой при большем числе значений. Сверь ответ с ограничениями, записанными до преобразования, и перенеси их в окончательный результат.

Связь с другими темами

Чтобы работать с алгебраическими дробями, нужно уметь находить значение обычной дроби и помнить, что её знаменатель не равен нулю. Также понадобятся разложение многочленов на множители, вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения, например разность квадратов. Эти навыки помогают обнаруживать общие множители, а не путать их со слагаемыми. Сокращение используют и дальше: оно упрощает сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей.

Что запомнить

• Сокращают только общий множитель числителя и знаменателя.
• Числитель и знаменатель делят на один и тот же ненулевой множитель.
• Перед сокращением находят значения переменной, при которых исходный знаменатель равен нулю.
• Суммы и разности нельзя сокращать по отдельным слагаемым.
• Ограничения исходной дроби сохраняются после сокращения.