§32. Сокращение алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями, причём знаменатель не должен быть равен нулю. Например, 3/x и (a + 1)/(a − 2) — алгебраические дроби. Это определение помогает сразу увидеть, что переменные в знаменателе могут накладывать ограничения.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — это значения переменных, при которых знаменатель исходной дроби не обращается в нуль. Например, для дроби 1/(x − 4) значение x = 4 недопустимо. ОДЗ нужно записывать, чтобы не использовать выражение там, где деление на ноль невозможно.

Сокращение алгебраической дроби — деление её числителя и знаменателя на один и тот же общий множитель, отличный от нуля. Например, в дроби 6x/9x общий множитель — 3x, и его можно сократить при x ≠ 0. Это действие упрощает запись, не меняя значения дроби при допустимых значениях переменной.

Тождественно равные дроби — дроби, которые принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Например, 2x/(4x) и 1/2 равны при x ≠ 0. Пояснение про допустимые значения важно: исходная дробь при x = 0 не определена, хотя сокращённая запись 1/2 существует.

Как это устроено

Сокращение возможно благодаря основному свойству дроби: если числитель и знаменатель разделить на одно и то же ненулевое число или выражение, значение дроби не изменится. Например, 12/18 = 2/3, потому что обе части разделили на 6. Для алгебраической дроби общий множитель может зависеть от переменной, поэтому перед делением нужно убедиться, что он не равен нулю.

Чтобы найти общий множитель, полезно разложить числитель и знаменатель на множители. В разложении по формулам или вынесением общего множителя становятся видны одинаковые части, которые можно убрать. Например, x² − 9 можно представить как (x − 3)(x + 3), а x² + 3x — как x(x + 3); общий множитель здесь — x + 3. Пока выражения записаны суммами, общий множитель может быть не заметен.

Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые. Причина в том, что дробь означает деление произведений, а сложение внутри числителя или знаменателя задаёт другое действие. В выражении (x + 3)/x буква x — лишь одно слагаемое числителя, а не множитель всего числителя. Чтобы сокращение стало возможным, числитель и знаменатель должны быть представлены как произведения.

Ограничения после сокращения берут из исходного знаменателя, потому что именно он задаёт, где дробь существовала до преобразования. При сокращении общий множитель исчезает, и новый знаменатель иногда перестаёт показывать запрещённое значение. Например, в дроби (x − 3)(x + 3)/(x + 3) значение x = −3 запрещено исходным знаменателем, хотя после сокращения остаётся x − 3. Значит, равенство сокращённой и исходной дробей рассматривают только при исходных допустимых значениях.

Проверить сокращение можно двумя способами. Подставь значение переменной, которое допустимо, и сравни значения исходной и полученной дробей; такой тест помогает заметить арифметическую ошибку, хотя сам по себе не заменяет обоснование. Можно также раскрыть скобки в сокращённом выражении и проверить, что числитель и знаменатель исходной дроби восстановлены после деления на общий множитель.

Сокращение алгебраических дробей: основные случаи и действия

Сначала найди ограничения по исходному знаменателю, затем разложи числитель и знаменатель на множители и сравни их. Если общий множитель есть, проверь, что он не равен нулю на рассматриваемой ОДЗ, и сократи его. Если общего множителя нет, оставь дробь без изменений.

Разбор задач

Задача 1. Сократить дробь 6a²b/(9ab²) и указать допустимые значения переменных.

1. Знаменатель 9ab² равен нулю, если a = 0 или b = 0. Поэтому исходная дробь определена при a ≠ 0 и b ≠ 0.
2. Запишем числитель и знаменатель произведениями: 6a²b = 3ab · 2a, а 9ab² = 3ab · 3b. Общий множитель — 3ab.
3. Так как a и b не равны нулю, общий множитель тоже не равен нулю. Сокращаем его и получаем 2a/(3b).

Ответ: 2a/(3b), при a ≠ 0 и b ≠ 0. Условие a ≠ 0 в новой записи уже не видно, но оно осталось из исходного знаменателя.

Задача 2. Сократить дробь (x² − 9)/(x² + 3x) и указать допустимые значения x.

1. Сначала найдём ОДЗ по исходному знаменателю: x² + 3x = x(x + 3). Он обращается в нуль при x = 0 и x = −3, значит, эти значения запрещены.
2. Разложим числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Теперь дробь имеет вид ((x − 3)(x + 3))/(x(x + 3)).
3. Множитель x + 3 общий. Сокращаем его, помня, что он не равен нулю на ОДЗ; получаем (x − 3)/x.

Ответ: (x − 3)/x, при x ≠ 0 и x ≠ −3. Значение −3 исключено, хотя новый знаменатель при нём не равен нулю: таково ограничение исходной дроби.

Задача 3. Сократить ((x² − 9)/(x² − 3x)) · ((x² − x)/(x² − 1)) и указать все ограничения.

1. Разложим знаменатели исходных дробей: x² − 3x = x(x − 3), x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Поэтому запрещены x = 0, 3, 1 и −1.
2. Разложим числители: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), а x² − x = x(x − 1). Получаем произведение дробей ((x − 3)(x + 3))/(x(x − 3)) · (x(x − 1))/((x − 1)(x + 1)).
3. Сократим общие множители x − 3, x и x − 1. Остаётся (x + 3)/(x + 1); все сокращённые множители ненулевые при исходных допустимых значениях.

Ответ: (x + 3)/(x + 1), при x ≠ 0, 1, 3, −1. Ограничения собраны по знаменателям исходных дробей до сокращения, поэтому в ответе учтены и значения, которых уже нет в новой записи.

Типичные ошибки

Ошибка — сокращать отдельные слагаемые, например считать, что в (x + 3)/x можно убрать x. Её допускают, потому что смешивают сложение и умножение: общий множитель должен входить в произведение целиком. Проверь себя: разложи числитель на множители; если x не является множителем всего числителя, сокращать его нельзя.

После сокращения иногда забывают запреты, заданные исходным знаменателем. Причина в том, что сокращённая запись выглядит проще и может быть определена при большем числе значений. Сверь ответ с исходным знаменателем и выпиши его нули до сокращения — они останутся недопустимыми.

Неправильное разложение многочлена приводит к появлению мнимых общих множителей. Особенно часто путают разность квадратов x² − a² = (x − a)(x + a) и квадрат суммы или разности: x² ± 2ax + a² = (x ± a)². Проверь разложение умножением скобок или сравнением с формулой.

Нельзя делить числитель и знаменатель на выражение, которое может быть нулём, не учитывая это условие. Так забывают, что деление на общий буквенный множитель допустимо только там, где он не равен нулю. Найди нули этого множителя, сопоставь их с ОДЗ и убедись, что исходная дробь определена на выбранных значениях.

Связь с другими темами

Для сокращения нужны основное свойство дроби, правила действий со степенями и умение раскладывать многочлены на множители. Эти знания помогают представить числитель и знаменатель произведениями и увидеть общий множитель. Без разложения сокращение часто невозможно заметить.

Сокращённая запись упрощает сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Она также нужна при решении рациональных уравнений, преобразовании рациональных выражений и исследовании функций. Во всех этих задачах важно отдельно следить за ограничениями исходных знаменателей.

Что запомнить

• Сокращать можно только общий множитель числителя и знаменателя.
• Перед сокращением полезно разложить числитель и знаменатель на множители.
• Нельзя сокращать отдельные слагаемые.
• Общий множитель должен быть отличен от нуля.
• Допустимые значения определяются исходным знаменателем.
• Сокращённая дробь равна исходной только при допустимых значениях переменных.