§ 43. Среднее значение и дисперсия

Определения и обозначения

Среднее значение набора чисел — это сумма всех значений, разделённая на их количество. Если числа обозначены x₁, x₂, …, xₙ, а их количество равно n, среднее обозначают x̄: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Оно помогает заменить несколько чисел одним общим ориентиром. Например, по среднему можно кратко описать результаты измерений или оценок.

Отклонение значения от среднего — разность между этим значением и средним: xᵢ − x̄. Если число больше среднего, отклонение положительное; если меньше — отрицательное; если равно среднему — нулевое. Знак показывает, с какой стороны от общего ориентира находится значение. А сама разность показывает, насколько далеко оно отстоит от среднего.

Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений всех значений от среднего. Для набора из n чисел её можно записать так: D = ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n. Квадраты нужны, чтобы отклонения с разными знаками не компенсировали друг друга. При этом большие отклонения после возведения в квадрат сильнее влияют на итог, поэтому дисперсия описывает разброс набора.

Как это устроено

Чтобы найти среднее, сначала складывают все значения, а затем делят сумму на количество чисел. Делить нужно именно на число наблюдений: каждое из них вносит равный вклад в общий ориентир. Например, если в наборе три числа, сумма делится на 3, даже когда одно из чисел повторяется. Среднее не обязательно совпадает с одним из значений набора.

Отклонения складывают в квадрат, потому что одни из них положительные, а другие отрицательные. Если просто сложить отклонения от среднего, их сумма окажется равной нулю: значения по обе стороны от среднего взаимно компенсируются. После возведения в квадрат все результаты становятся неотрицательными. А ещё отклонение в 4 единицы даст квадрат 16, то есть повлияет на оценку разброса сильнее, чем отклонение в 2 единицы с квадратом 4.

Для вычисления дисперсии удобно действовать последовательно. Сначала находят среднее, после чего вычитают его из каждого значения, не забывая сохранять знак отклонения. Затем каждое отклонение возводят в квадрат, складывают полученные квадраты и делят сумму на количество исходных значений. Так получается средний квадрат отклонения, то есть дисперсия.

Два набора могут иметь одинаковое среднее, но разный разброс. Чтобы сравнить его, находят дисперсию каждого набора по одной и той же схеме: если дисперсия больше, значения в целом дальше от среднего. Это не обязательно означает, что каждое отдельное значение одного набора дальше соответствующего значения другого. Дисперсия сравнивает разброс всех данных вместе.

Если некоторые значения повторяются, каждое повторение всё равно считается отдельным наблюдением. Можно выписать все числа подряд, включая одинаковые, и вычислить среднее и дисперсию обычным способом. Если повторы записаны частотами, число с частотой 3 учитывают трижды: его вклад в сумму умножают на 3, а общее количество наблюдений увеличивают на 3. Так ни одно повторение не потеряется.

Среднее значение и дисперсия набора данных

Сначала определите, что требуется узнать: центральный ориентир или разброс данных. Затем найдите соответствующую колонку и проследите, какие величины нужны для вычисления. Для дисперсии нельзя обойтись без среднего, потому что именно от него отсчитывают отклонения.

Разбор задач

Найдите среднее значение чисел 3, 5, 7.

1. Посчитаем количество значений: их три. Значит, сумму нужно будет разделить на 3.
2. Сложим числа: 3 + 5 + 7 = 15. Разделим сумму на количество: 15 / 3 = 5.
3. Проверим смысл результата: 5 находится между числами 3 и 7, а расстояния до крайних значений одинаковы. Ответ: среднее значение равно 5.

Для чисел 2, 4, 6 найдите среднее значение и дисперсию.

1. Сначала находим среднее: (2 + 4 + 6) / 3 = 12 / 3 = 4. Теперь можно сравнить с ним каждое число.
2. Находим отклонения: 2 − 4 = −2, 4 − 4 = 0, 6 − 4 = 2. Возводим их в квадрат: 4, 0 и 4.
3. Вычисляем среднее квадратов: (4 + 0 + 4) / 3 = 8 / 3. Дисперсия равна 8 / 3, а среднее значение равно 4.

Сравните разброс наборов 1, 5, 9 и 3, 5, 7, вычислив их дисперсии.

1. У обоих наборов среднее равно 5: (1 + 5 + 9) / 3 = 5 и (3 + 5 + 7) / 3 = 5. Поэтому разброс можно сравнить по дисперсиям относительно одного и того же среднего.
2. Для первого набора отклонения равны −4, 0, 4, их квадраты — 16, 0, 16. Дисперсия: (16 + 0 + 16) / 3 = 32 / 3.
3. Для второго набора отклонения равны −2, 0, 2, их квадраты — 4, 0, 4. Дисперсия: (4 + 0 + 4) / 3 = 8 / 3.
4. Так как 32 / 3 больше 8 / 3, первый набор разбросан сильнее относительно среднего. Ответ: больше разброс у набора 1, 5, 9.

Типичные ошибки

Иногда сумму значений делят не на их количество, а, например, на число разных значений. Так можно ошибиться, если в наборе есть повторы: каждое наблюдение должно иметь свой вклад. Проверьте, что знаменатель равен числу всех записанных значений, включая одинаковые.

Дисперсию могут попытаться найти как среднее самих отклонений. Это кажется естественным способом оценить расстояние от среднего, но положительные и отрицательные знаки взаимно уничтожаются. Проверка простая: для полного набора отклонений их сумма равна нулю, поэтому перед усреднением нужно возвести их в квадрат.

Ещё одна ошибка — возводить в квадрат сами значения, а не отклонения. Например, из числа 6 нужно вычесть среднее и только потом возвести разность в квадрат. Чтобы проверить порядок, сначала отдельно запишите найденное среднее, затем строку отклонений, и лишь после неё — квадраты.

Повторяющиеся числа иногда учитывают только один раз, потому что они одинаковы. Но набор 2, 2, 5 — это три наблюдения, а не два: оба числа 2 влияют на среднее и дисперсию. Пересчитайте количество элементов или проверьте, что частоты всех значений в сумме дают общее число наблюдений.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужно уметь находить среднее арифметическое, выполнять действия с отрицательными числами и возводить числа в квадрат. Эти навыки нужны, чтобы вычислять отклонения и квадраты отклонений без ошибок. Среднее и дисперсия применяются при анализе измерений, опросов и других статистических данных: они помогают описать общий уровень и разброс результатов. Позже эти идеи пригодятся при изучении статистики и других способов описания данных.

Что запомнить

• Среднее значение равно сумме всех значений, делённой на их количество.
• Отклонение — это разность между значением и средним.
• При вычислении дисперсии отклонения возводят в квадрат.
• Дисперсия равна среднему арифметическому квадратов отклонений.
• Чем больше дисперсия, тем сильнее разбросаны значения относительно среднего.
• Повторяющиеся значения нужно учитывать столько раз, сколько они встречаются.