§ 44. Функция у = х2 и её график

Определения и обозначения

Функция y = x² — соответствие, при котором каждому значению x ставится в соответствие значение y, равное квадрату x. Например, если x = 3, то y = 9, а если x = −3, то тоже y = 9. Эта запись позволяет по любому выбранному x вычислить единственное значение y. Так мы задаём правило зависимости одной величины от другой.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению y = x². Координаты точки записывают в виде (x; y): первое число показывает положение по горизонтали, второе — по вертикали. Например, точка (2; 4) лежит на графике, потому что 2² = 4. Определение помогает проверить, принадлежит ли точка графику.

Парабола — кривая, являющаяся графиком функции y = x². Она проходит через начало координат, а её части по обе стороны от оси y имеют одинаковую форму. Название помогает отличать этот график от прямой или других кривых. По виду параболы можно быстро заметить некоторые свойства функции.

Вершина параболы — её крайняя точка, а ось симметрии — прямая, относительно которой левая и правая части графика зеркально совпадают. У графика y = x² вершина находится в точке (0; 0), а ось симметрии задаётся уравнением x = 0, то есть это ось y. Эти обозначения помогают описывать расположение графика и находить соответствующие друг другу точки.

Как это устроено

Чтобы построить график, сначала выбирают несколько значений x, затем вычисляют для каждого y = x² и получают пары координат. Например, при x = −2, −1, 0, 1, 2 значения y равны 4, 1, 0, 1, 4. На координатной плоскости отмечают точки (x; y), соблюдая масштаб по обеим осям. После этого точки соединяют плавной линией, потому что функция задаёт непрерывную кривую, а не только набор отдельных значений.

График симметричен относительно оси y из-за свойства квадрата: противоположные числа дают одинаковый результат. Например, (−2)² = 2² = 4, поэтому точки (−2; 4) и (2; 4) расположены на одной высоте. Их расстояния от вертикальной оси одинаковы, но находятся они по разные стороны от неё. Это свойство помогает строить график быстрее: можно отметить точки справа, а затем отразить их влево.

Вершина находится в начале координат, потому что квадрат любого числа не меньше нуля, а ноль получается при x = 0. Значит, график не опускается ниже оси x и касается её в точке (0; 0). При удалении от нуля модуль x становится больше, и его квадрат растёт. Поэтому обе ветви параболы направлены вверх.

Слева от нуля функция убывает: когда x движется от отрицательных чисел к нулю, например от −3 к −2 и затем к −1, квадраты уменьшаются. Справа от нуля функция возрастает, потому что при переходе от 0 к 1, 2 и 3 квадраты увеличиваются. Это не означает, что y уменьшается при любом движении по оси x: направление движения важно. В точке x = 0 значение функции наименьшее.

Чтобы узнать значение функции по графику, находят заданное x на горизонтальной оси и смотрят, на какой высоте находится точка параболы. Эта высота, то есть ордината y, и будет значением функции. Для решения уравнения x² = a проводят горизонтальную прямую y = a и находят её пересечения с параболой. Абсциссы точек пересечения являются решениями, поскольку именно при этих x квадрат равен a.

Основные свойства функции y = x²

Таблица помогает быстро вспомнить, какие значения может принимать функция и как ведёт себя её график. При решении задачи сначала определите, какое свойство требуется, а затем примените его к заданным значениям x или y. Например, если спрашивают о наименьшем значении, достаточно найти вершину параболы.

Разбор задач

Задача 1. Составьте таблицу значений функции y = x² для x = −2, −1, 0, 1, 2 и постройте график. Сначала вычислим квадраты: важно возводить в квадрат всё отрицательное число, включая знак. Полученные пары чисел станут координатами точек. Затем отметим их и соединим, учитывая симметрию.

1. Для x = −2 получаем y = (−2)² = 4; для x = −1 получаем y = 1.
2. Для x = 0 получаем y = 0; для x = 1 получаем y = 1, для x = 2 получаем y = 4.
3. Записываем точки: (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4).
4. Отмечаем точки на координатной плоскости и соединяем плавной линией. Точки с абсциссами −2 и 2, а также −1 и 1 должны находиться на одинаковой высоте.

Ответ: таблица значений содержит пары (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4); по ним строится парабола с вершиной (0; 0).

Задача 2. По графику функции y = x² найдите значения функции при x = −3 и x = 2, а также значения x, при которых y = 4. Чтобы найти значение функции, читаем ординату точки с заданной абсциссой. Для последнего вопроса действуем наоборот: задаём высоту y = 4 и смотрим, где горизонтальная линия пересекает параболу. Такой порядок разделяет поиск y и поиск x.

1. При x = −3 квадрат равен (−3)² = 9, значит, ордината графика равна 9.
2. При x = 2 квадрат равен 2² = 4, поэтому значение функции равно 4.
3. Находим пересечения параболы с прямой y = 4. Они имеют абсциссы −2 и 2, поскольку оба числа в квадрате дают 4.

Ответ: y(−3) = 9, y(2) = 4; при y = 4 значения x равны −2 и 2.

Задача 3. Сравните значения функции y = x² при x = −2,5 и x = 2, а затем определите, при каких x выполняется x² ≤ 4. Для сравнения сначала вычислим обе ординаты, а не будем сравнивать сами аргументы. Неравенство удобно представить на графике: нужны точки параболы, находящиеся не выше прямой y = 4. Границы получим в местах пересечения этих графиков.

1. При x = −2,5 значение равно (−2,5)² = 6,25.
2. При x = 2 значение равно 2² = 4; поэтому 6,25 больше 4.
3. Прямая y = 4 пересекает параболу при x = −2 и x = 2.
4. Между точками пересечения график параболы расположен не выше прямой y = 4. Концы включаются, потому что требуется ≤, а не строгое неравенство.

Ответ: значение при x = −2,5 больше значения при x = 2; x² ≤ 4 при −2 ≤ x ≤ 2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при отрицательном x значение x² тоже отрицательно. Так думают, если переносят знак числа в результат, забывая, что квадрат — произведение числа на себя: (−3)² = (−3) · (−3) = 9. Проверка проста: возведите число в квадрат как произведение двух одинаковых множителей. Если получился отрицательный ответ, вычисление неверно.

Ошибка: строить график, не учитывая, что противоположным значениям x соответствуют одинаковые y. Тогда точки могут оказаться на разных высотах и график получится перекошенным. Это происходит, когда вычисления делают невнимательно или забывают свойство квадрата. Проверьте пары: значения при x = −1 и x = 1, при x = −2 и x = 2 должны совпадать.

Ошибка: изображать ветви параболы направленными вниз. Такой рисунок противоречит тому, что все квадраты неотрицательны, а при увеличении модуля x значения функции растут. Иногда путают график y = x² с другими параболами, у которых перед квадратом стоит минус. Для проверки найдите точки при x = 1 и x = −1: обе имеют y = 1, значит, ветви идут вверх от вершины.

Ошибка: путать точку графика (x; y) со значением функции. Пара — это координаты точки, а значение функции при данном x — только вторая координата y. Ошибка возникает, когда в ответ записывают обе координаты вместо числа. Проверяйте вопрос: если просят значение функции, укажите ординату; если просят точку, укажите обе координаты.

Связь с другими темами

Перед изучением функции y = x² нужно уметь возводить числа в квадрат и работать с координатной плоскостью: находить оси и отмечать точки по их координатам. Эти навыки нужны, чтобы составить таблицу значений и аккуратно построить параболу. Чтение её графика пригодится при решении уравнений и неравенств графическим способом. Позже этот график станет основой для изучения квадратичной функции и других парабол.

Что запомнить

• График функции y = x² — парабола.
• Вершина параболы — точка (0; 0).
• Ось симметрии параболы — ось y, или прямая x = 0.
• Область определения функции — все действительные числа.
• Значения функции неотрицательны; наименьшее значение равно нулю.
• Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0.
• Для противоположных аргументов значения функции одинаковы: (−x)² = x².