"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Математический язык помогает записывать числа, действия и связи между величинами коротко и точно. Вместо длинного описания можно использовать буквы, знаки действий и скобки, а затем составить выражение или математическую модель ситуации. Чтобы запись была верной, нужно сначала разобраться, что обозначают величины и как они связаны. Главное — уметь переводить условие в математические символы и обратно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математический язык — язык специальных символов и правил, с помощью которого записывают математические объекты и отношения между ними. Например, знак + коротко передаёт действие сложения, а знак = показывает равенство. Такие записи помогают не повторять длинные словесные описания и точнее выражать мысль.
Математическое выражение — запись из чисел, букв, знаков действий и скобок, составленная по правилам математики. Например, 8 + 3 и 2 · (a − 1) — выражения. Это понятие нужно, чтобы обозначать действия и их порядок одной компактной записью.
Буквенное выражение — математическое выражение, в котором наряду с числами используются буквы, обозначающие числа. Например, 2x + 5 — буквенное выражение: оно задаёт правило вычисления для выбранного x. Такая запись удобна, когда число неизвестно или может меняться.
Математическая модель — запись условия или ситуации с помощью математических символов, выражений и отношений. Например, если к числу x прибавили 4 и получили y, моделью служит равенство y = x + 4. Модель помогает решать задачу математическими способами, не теряя связи с её смыслом.
В обычной речи одну мысль можно объяснять разными словами, поэтому описание иногда получается длинным или неоднозначным. Математические символы закрепляют за действиями и отношениями определённый смысл: например, запись a + b однозначно говорит о сложении чисел a и b. Благодаря этому рассуждение короче, а его части легче проверить. Символы особенно полезны, когда в задаче участвуют несколько величин.
Числа и буквы задают величины, знаки показывают действия, а скобки помогают объединить части записи. Например, в выражении 3 · (a + 2) сначала рассматривают сумму a + 2, а затем умножают её на 3. Если убрать скобки, получится другая запись: 3a + 2, и в общем случае её значение будет иным. Поэтому важны и состав выражения, и порядок, в котором расположены его части.
Буква может обозначать неизвестное число, которое требуется найти, или переменное число, значение которого может меняться. Если записано x + 4, то при x = 2 значение выражения равно 6, а при x = 5 — 9. Следовательно, буквенное выражение само по себе не всегда имеет одно числовое значение. Чтобы вычислить его, нужно знать значения всех входящих букв и выполнять действия по правилам.
Чтобы превратить условие в математическую запись, сначала выдели величины: что известно, что нужно найти и как эти величины связаны. Затем выбери буквенные обозначения и запиши каждую связь подходящим действием или знаком отношения. Например, если во второй коробке на 4 карандаша больше, чем в первой, и в первой x карандашей, во второй будет x + 4. Такой порядок помогает не подменить смысл задачи случайной формулой.
Перевод работает и в обратную сторону: запись нужно уметь прочитать обычными словами. Выражение x + 4 можно прочитать как «число x, увеличенное на 4», а 3x — как «число x, умноженное на 3». Затем сравни смысл прочитанной записи с исходным условием: совпадают ли величины и нужное отношение между ними? Если прочтение не соответствует условию, значит, модель составлена неверно и её следует исправить.
В таблице буквы a и b обозначают числа, о которых говорится во фразе. Сначала найди ключевое слово — например, «сумма», «разность» или «в раз». Затем проверь порядок величин и прочитай получившееся выражение словами: так проще заметить несоответствие.
| Словесная фраза | Математическая запись | Что обозначают буквы |
|---|---|---|
| сумма чисел a и b | a + b | a и b — слагаемые числа |
| разность чисел a и b | a − b | a — уменьшаемое, b — вычитаемое |
| произведение числа a и числа b | a · b | a и b — множители |
| частное числа a и числа b | a / b | a — делимое, b — делитель; b ≠ 0 |
| число a на 5 больше числа b | a = b + 5 | a — большее число, b — меньшее число |
| число a в 3 раза меньше числа b | a = b / 3 | a — меньшее число, b — число втрое больше |
Задача 1. Запишите на математическом языке сумму числа a и числа 7. Здесь слово «сумма» указывает, что два числа нужно сложить. Важно сохранить оба слагаемых: неизвестное число a и известное число 7.
Ответ: a + 7.
Задача 2. Составьте выражение для периметра прямоугольника со сторонами a и b. Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры, поэтому нужно учесть каждую сторону. У прямоугольника противоположные стороны равны: две стороны имеют длину a, а две другие — b.
Ответ: периметр равен 2a + 2b.
Задача 3. В одной коробке было x карандашей, во второй — на 4 карандаша больше. Запишите общее количество карандашей в коробках. Сначала нужно выразить число карандашей во второй коробке, а затем сложить количества. Слова «на 4 больше» означают прибавление четырёх, а не умножение.
Ответ: всего 2x + 4 карандаша.
«На 5 больше» записывают как умножение на 5. Такую ошибку допускают, потому что слово «больше» связывают с увеличением вообще, не уточняя способ. Но «на 5» сообщает, сколько прибавили, поэтому к исходному числу нужно добавить 5. Проверь запись чтением: «число на 5 больше b» — это b + 5, а не 5b.
Путают «в 3 раза больше» и «на 3 больше». Обе фразы говорят об увеличении, но называют разные отношения. «На 3 больше» означает прибавить 3, а «в 3 раза больше» — умножить на 3. Для проверки подставь, например, число 10: результаты будут 13 и 30, значит, смыслы различаются.
Меняют порядок чисел в разности или частном. Иногда считают, что перестановка букв ничего не меняет, как при сложении. Однако a − b обычно не равно b − a, а a / b обычно не равно b / a. Чтобы проверить порядок, прочитай выражение словами: «из a вычесть b» и «a разделить на b» прямо указывают, какое число стоит первым.
Составляют запись, не выяснив, что обозначают буквы. Из-за этого можно приписать букве не ту величину или неверно соединить числа. Например, выражение x + 4 означает, что к величине x добавили 4, но не объясняет само по себе, что именно измеряет x. Перед записью подпиши для себя буквы, а после прочитай выражение целиком и сверь его с условием.
Для работы с математическим языком нужны навыки действий с натуральными числами и понимание слов «сумма», «разность», «произведение» и «частное». Если смысл этих слов неясен, условие трудно точно перевести в символы. Поэтому полезно сначала разобрать, какие величины участвуют в описании.
Перевод слов в символы понадобится при составлении формул, уравнений и неравенств по текстовым задачам. Например, неизвестное число можно обозначить буквой, а условие о его связи с другими числами записать равенством или знаком сравнения. Так словесная задача превращается в запись, с которой удобно работать.
Умение составлять и читать такие записи служит основой для построения математических моделей. Модель позволяет исследовать ситуацию с помощью вычислений и рассуждений, а затем объяснить полученный результат в контексте задачи. Для этого запись должна точно передавать исходное условие.
Зачем нужен математический язык?
Он позволяет коротко и точно записывать вычисления, свойства чисел и условия задач. По такой записи легче рассуждать и проверять выводы.
Что может обозначать буква в математическом выражении?
Буква может обозначать неизвестное число или величину, которая меняется. Её значение задаётся условием задачи или выбирается отдельно.
Как отличить «на несколько больше» от «в несколько раз больше»?
«На 3 больше» означает прибавить 3: x + 3. «В 3 раза больше» означает умножить на 3: 3x.
Как понять, в каком порядке записывать числа в разности?
Порядок обычно совпадает с порядком слов: разность чисел a и b записывают a − b. Чтобы не перепутать, спроси себя, из какого числа вычитают другое.
Как проверить, правильно ли составлено выражение по условию?
Прочитай выражение словами и сравни смысл с условием. Также можно подставить простые подходящие значения букв и проверить, соответствует ли результат ситуации.
§ 2. Что такое математический язык
