§ 1. Числовые и алгебраические выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 8 + 3 · 2 — числовое выражение. Его значение можно найти, если указанные действия выполнимы; это помогает понять, какой результат задаёт запись.

Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех указанных действий с учётом их порядка. Например, значение выражения 8 + 3 · 2 равно 14, а не 22. Это понятие нужно, чтобы отличать саму запись от результата вычислений.

Алгебраическое выражение — запись, содержащая числа, переменные, знаки действий и скобки. В выражении 3a + 2 буква a — переменная, то есть обозначение числа. Значение такой записи зависит от того, какое число обозначает переменная, поэтому выражение позволяет описать вычисление сразу для разных чисел.

Допустимые значения переменных — значения, при которых все действия в алгебраическом выражении имеют смысл. Например, в дроби 1/(x − 4) нельзя взять x = 4: тогда знаменатель станет нулём. Проверка допустимости нужна до подстановки, чтобы не получить выражение, которое невозможно вычислить.

Как это устроено

Выражения составляют из чисел, переменных и знаков действий, а скобки показывают, какие части нужно рассматривать вместе. Например, 2x + 5 — выражение: оно задаёт умножение x на 2 и последующее сложение с 5. Знак равенства в запись выражения не входит: запись 2x + 5 = 11 уже является равенством, а если в нём нужно найти x, это уравнение. Различать эти записи нужно, потому что выражение вычисляют или преобразуют, а уравнение решают.

Когда вместо переменной подставляют число, буквенная запись превращается в числовую. Например, при x = 3 выражение 2x + 5 становится 2 · 3 + 5. После подстановки можно вычислить результат по обычным правилам арифметики. Отрицательное число лучше заключить в скобки: при x = −3 получаем 2 · (−3) + 5, и запись ясно показывает, что число −3 умножается на 2.

Порядок действий нужен, чтобы одна и та же запись давала всем одинаковый результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень, после этого умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. Если действия одного уровня стоят подряд, их выполняют слева направо. Например, в 18 − 2 · (5 + 1) сначала считают в скобках, потому что иначе умножение и вычитание можно ошибочно прочитать в другом порядке.

Не всякое число можно подставить вместо переменной: некоторые подстановки делают одно из действий невыполнимым. Например, деление на ноль не определено, поэтому в выражении (x + 2)/(x − 3) значение x = 3 запрещено. Нужно приравнять знаменатель к нулю и исключить найденное значение. Так определяют допустимые значения переменной ещё до вычисления выражения.

Скобки можно раскрывать, а одинаковые слагаемые — объединять, если преобразование сохраняет значение записи. Например, 3(x + 2) = 3x + 6: число 3 умножается на каждое слагаемое в скобках. В выражении 2x + 5x можно сложить коэффициенты и получить 7x, потому что оба слагаемых содержат одну и ту же переменную. Такие преобразования упрощают вычисления, но равенство исходного и нового выражений должно сохраняться при всех допустимых значениях переменных.

Числовые и алгебраические выражения

Сначала выясни, есть ли в записи переменные: это поможет определить вид выражения. Затем посмотри, какие действия нужно выполнить и требуются ли ограничения на значения букв. Таблица напоминает, что буквенная запись становится числовой после подстановки конкретных значений.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите значение выражения 18 − 2 · (5 + 1). Здесь есть скобки и умножение, поэтому нельзя начинать с вычитания. Сначала выполним действие в скобках, затем умножение и только после этого вычитание.

1. В скобках получаем 5 + 1 = 6.
2. Выполняем умножение: 2 · 6 = 12.
3. Вычитаем: 18 − 12 = 6.

Ответ: 6. Проверка порядка действий показывает, что мы сначала нашли сумму в скобках, как того требует запись. Если бы сначала вычесть 18 − 2, получилось бы другое число, потому что порядок действий был бы нарушен.

Задача 2. Найдите значение выражения 3a − 2b при a = 4 и b = −1. Подставим оба числа, сохраняя знаки переменных. Отрицательное значение b заключим в скобки, чтобы было видно, что вычитается произведение 2 · (−1).

1. Подставляем значения: 3 · 4 − 2 · (−1).
2. Выполняем умножение: 12 − (−2).
3. Вычитание отрицательного числа заменяем сложением: 12 + 2 = 14.

Ответ: 14. При вычитании отрицательного числа результат увеличивается, поэтому 12 − (−2) равно 14. Скобки при подстановке помогли не перепутать знак числа b со знаком действия перед вторым слагаемым.

Задача 3. Найдите допустимые значения x и вычислите (x + 2)/(x − 3) при x = 5. Сначала проверим, может ли знаменатель стать нулём: дробь с нулевым знаменателем не определена. Затем убедимся, что заданное значение подходит, и выполним вычисления.

1. Знаменатель не должен равняться нулю: x − 3 ≠ 0.
2. Отсюда x ≠ 3; это ограничение для допустимых значений.
3. Число 5 допустимо. Подставляем: (5 + 2)/(5 − 3) = 7/2.

Ответ: допустимы все значения x, кроме 3; при x = 5 значение выражения равно 7/2. Проверка знаменателя до вычисления важна: если бы подставили x = 3, делить пришлось бы на ноль. В таком случае значение выражения не существовало бы.

Типичные ошибки

Иногда выражение со знаком равенства принимают за обычное выражение. Это происходит потому, что в обеих записях могут быть одинаковые числа и буквы, но знак = утверждает, что две части равны; уравнение требует найти неизвестное. Чтобы проверить себя, посмотри, есть ли знак равенства: без него перед тобой выражение, с ним — равенство.

При подстановке отрицательное число иногда записывают без скобок. Тогда выражение вроде −3² можно ошибочно прочитать как квадрат числа −3, хотя по порядку действий это −(3²). Записывай подстановку как (−3)², если возводишь отрицательное значение переменной в степень. Проверка скобок помогает увидеть, к какому числу относится действие.

Другая ошибка — выполнять сложение или вычитание раньше умножения и деления. Её допускают, когда читают запись слева направо, не учитывая приоритет действий. Сначала выполни действия в скобках, потом умножение и деление, а сложение и вычитание оставь напоследок. Для самопроверки отмечай порядок действий до вычисления.

Можно забыть проверить знаменатель и подставить значение, при котором он равен нулю. Такая дробь не имеет значения, потому что на ноль делить нельзя. Перед вычислением дробного выражения приравняй знаменатель к нулю и исключи найденные значения переменной. Затем проверь, не нарушает ли заданная подстановка это ограничение.

Связь с другими темами

Для работы с выражениями нужны навыки вычисления с целыми числами и дробями, умение учитывать знаки чисел и соблюдать порядок действий. Если эти правила забыты, можно верно подставить числа, но получить неправильный результат при вычислениях. Поэтому перед вычислением полезно определить, какие действия стоят в записи и в какой последовательности их выполнять. Знание арифметики становится основой для алгебраических вычислений.

Выражения встречаются в формулах, где переменные обозначают величины, а подстановка помогает найти конкретное значение. Умение преобразовывать запись пригодится при упрощении выражений и решении уравнений: выражение может быть частью уравнения, но само по себе уравнением не является. Проверка допустимых значений помогает не использовать подстановки, при которых действия теряют смысл. Эти навыки будут нужны в дальнейшей алгебре.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел и знаков действий.
• Алгебраическое выражение содержит одну или несколько переменных.
• Значение алгебраического выражения находят подстановкой чисел вместо переменных.
• Порядок действий в выражениях необходимо соблюдать.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Преобразования выражения не должны менять его значение при допустимых значениях переменных.