§ 1. Числовые и алгебраические выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, например 8 + 3 · 2. Выражение имеет смысл, если каждое действие в нём можно выполнить. Это понятие помогает отличать запись, которую можно вычислить, от записи с невозможным действием, например делением на ноль.

Алгебраическое выражение — запись, в которой вместе с числами и знаками действий используются переменные — буквы, обозначающие числа. Например, 2x + 5 зависит от того, какое число обозначено буквой x. Такие записи нужны, чтобы описывать вычисления сразу для многих чисел, а не записывать отдельный пример для каждого.

Значение выражения — число, которое получается после выполнения действий или подстановки заданных значений переменных. Например, при x = 3 выражение 2x + 5 принимает значение 11. По значению можно понять результат описанных выражением вычислений и сравнить его с результатом другого выражения.

Допустимые значения переменной — значения, при которых выражение имеет смысл. Например, в выражении 1/(x − 4) нельзя брать x = 4, потому что тогда знаменатель станет равен нулю. Поиск допустимых значений нужен до подстановки: так можно избежать действия, которое невозможно выполнить.

Как это устроено

Числовое выражение составляют из чисел и действий, но сама запись ещё не говорит, что все действия нужно выполнять подряд как попало. Порядок действий и скобки определяют, какие числа и действия объединяются первыми. Например, в 18 − 2 · (5 + 1) сначала находят сумму в скобках: иначе умножение и вычитание могут быть выполнены не в том порядке. Именно поэтому соблюдение правил даёт однозначный результат.

Алгебраическое выражение получается, когда некоторые числа заменяют переменными. Например, запись a + 7 подходит для любого значения a, а после подстановки конкретного числа можно выполнить вычисления. Переменная не является одним заранее выбранным числом: она может принимать разные значения. Поэтому одна запись описывает целый набор результатов, но только среди значений, при которых все действия разрешены.

Чтобы найти значение алгебраического выражения, заменяют каждую переменную заданным числом и затем выполняют действия по порядку. Если подставляется отрицательное число, его заключают в скобки: так сохраняется смысл знака числа и не возникает путаницы со степенью или вычитанием. Например, при a = −2 запись a² становится (−2)². После подстановки получается числовое выражение, которое можно вычислить обычным способом.

Не каждая подстановка допустима, потому что некоторые действия определены не для всех чисел. Для дроби знаменатель должен быть отличен от нуля: деление на ноль не имеет результата. Поэтому в выражении (x + 2)/(x − 3) сначала выясняют, при каком x знаменатель обращается в ноль, и исключают это значение. Такая проверка нужна до вычисления, иначе можно получить запись, значение которой не существует.

Выражения могут выглядеть по-разному, но давать одинаковое значение при всех допустимых подстановках. Например, 2(x + 3) и 2x + 6 связаны раскрытием скобок: оба выражения обозначают один и тот же результат. Приведение подобных слагаемых тоже меняет вид записи, но сохраняет её значение. Такие преобразования помогают упростить выражение и проверить, равны ли результаты при одних и тех же допустимых значениях переменных.

Числовые и алгебраические выражения

Таблица помогает сравнить записи по составу и способу вычисления. Пользуйся ею так: сначала выясни, есть ли в выражении переменные, а затем проверь, какие действия нужны для нахождения значения. В последней строке учитывай, что и числовая запись может содержать невыполнимое действие, а для алгебраической нужно ещё проверить допустимые значения переменных.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите значение числового выражения 18 − 2 · (5 + 1). Сначала нужно определить, какое действие задаёт скобка: оно выполняется раньше остальных. После этого остаются умножение и вычитание, причём умножение выполняют перед вычитанием. Такой порядок позволяет не менять смысл исходной записи.

1. Выполним действие в скобках: 5 + 1 = 6.
2. Умножим: 2 · 6 = 12.
3. Вычтем: 18 − 12 = 6.

Ответ: 6. Проверка порядка действий показывает, что сначала была найдена сумма, а не выполнено вычитание с последующим умножением.

Задача 2. Найдите значение выражения 3a − 2b при a = 4 и b = −1. Здесь буквы заменяют известными числами, а отрицательное значение b берут в скобки, чтобы подстановка была ясной. После неё получится числовое выражение, в котором умножение выполняется раньше вычитания.

1. Подставим значения: 3 · 4 − 2 · (−1).
2. Выполним умножение: 12 − (−2).
3. Вычитание отрицательного числа заменим сложением: 12 + 2 = 14.

Ответ: 14. Полезно проверить знак результата: произведение 2 · (−1) отрицательно, поэтому из 12 вычитается отрицательное число, то есть результат становится больше 12.

Задача 3. Найдите допустимые значения x и вычислите (x + 2)/(x − 3) при x = 5. Сначала проверим знаменатель, потому что дробь не определена, если он равен нулю. Только после нахождения ограничения можно убедиться, что заданное значение подходит, и выполнять вычисления.

1. Найдём, когда знаменатель равен нулю: x − 3 = 0, значит, x = 3.
2. Исключим это значение. Допустимы все числа, кроме 3; заданное x = 5 допустимо.
3. Подставим x = 5: (5 + 2)/(5 − 3) = 7/2.

Ответ: x ≠ 3; при x = 5 значение выражения равно 7/2. Проверка знаменателя подтверждает, что при подстановке получилось деление на ненулевое число.

Типичные ошибки

Иногда сначала складывают или вычитают, хотя в выражении есть скобки или умножение. Так происходит, если воспринимать запись как цепочку действий слева направо, не проверяя их приоритет. Чтобы себя проверить, сначала отметь скобки, затем действия по их порядку и только после этого считай. Например, в 18 − 2 · (5 + 1) нельзя вычитать 18 и 2 раньше умножения.

При подстановке отрицательное число иногда записывают без скобок. Тогда можно перепутать число и знак операции: например, −2² означает минус квадрат числа 2, а (−2)² — квадрат отрицательного числа. Ошибка возникает, когда забывают, что степень относится к тому, что стоит непосредственно перед ней. Проверяй себя: подставляй отрицательное значение в круглых скобках, а затем выполняй действия по порядку.

Ещё одна ошибка — считать допустимым любое значение переменной, даже если оно обращает знаменатель в ноль. Обычно это случается, когда начинают подстановку сразу и не проверяют, можно ли выполнить все действия. При дроби сначала приравняй знаменатель к нулю и найди запрещённые значения, затем исключи их. В конце подстановки полезно ещё раз проверить, что знаменатель не равен нулю.

Разный вид двух выражений не означает, что значения у них обязательно разные. Например, можно принять 2(x + 3) и 2x + 6 за несвязанные записи, хотя раскрытие скобок показывает их равенство. Такое заблуждение появляется, когда сравнивают внешний вид, а не результаты преобразований. Проверь выражения, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, а затем учитывай допустимые значения переменных.

Связь с другими темами

Для работы с выражениями нужны знания натуральных, целых и рациональных чисел, арифметических действий и порядка их выполнения. Это основа для преобразования выражений: скобки раскрывают, а подобные слагаемые объединяют, чтобы запись стала проще. Выражения также используют при решении уравнений и подстановке чисел в формулы. Проверка допустимых значений особенно пригодится при изучении дробных выражений и рациональных уравнений: она помогает исключить значения, при которых знаменатель равен нулю.

Что запомнить

• Числовое выражение не содержит переменных.
• Алгебраическое выражение содержит переменные.
• Значение выражения находят, выполняя действия в установленном порядке.
• Чтобы найти значение алгебраического выражения, подставляют числа вместо переменных.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Допустимые значения переменной — те, при которых выражение имеет смысл.