"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Выражение — это запись, по которой можно выполнить вычисления. Если в ней только числа и знаки действий, это числовое выражение; если есть переменные — алгебраическое. Переменные помогают записывать общие правила, а подстановка конкретных чисел позволяет найти значение выражения. Чтобы вычислить его верно, нужно соблюдать порядок действий и учитывать, при каких значениях переменных запись имеет смысл.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, знаков действий и скобок, по которой можно выполнить вычисления. Например, 18 − 2 · (5 + 1) задаёт определённый порядок действий. Это понятие нужно, чтобы отличать готовую запись для вычисления от её результата.
Алгебраическое выражение содержит переменные — буквы, которыми обозначают числа, например 3a² − 2b. Если вместо переменных подставить числа, получится числовое выражение. Переменные позволяют записать одно правило сразу для множества возможных чисел, а не перечислять каждый пример отдельно.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий при заданных значениях переменных. Например, результат записи 3a² − 2b зависит от того, какие числа выбраны вместо a и b. Это понятие помогает отличать саму запись от ответа, полученного при конкретной подстановке.
Допустимые значения переменных — такие значения, при которых выражение имеет смысл. Например, в дроби знаменатель не должен равняться нулю, потому что на ноль делить нельзя. Проверка допустимости нужна до вычисления: иначе подстановка может привести к действию, которое невозможно выполнить.
Порядок действий задаёт, как именно вычислять выражение, чтобы разные люди получили один и тот же ответ. Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень, после — умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Поэтому нельзя просто считать запись подряд, как обычную фразу: знаки умножения и деления связывают числа сильнее, чем сложение и вычитание.
Переменная позволяет записать общее правило, потому что вместо одной буквы можно подставлять разные числа. Например, запись a + 5 описывает прибавление пяти к любому числу a, а не только к одному выбранному числу. Так удобно сравнивать и вычислять целый набор примеров с одной и той же схемой. Пока значение переменной не задано, результат выражения тоже не определён одним числом.
Чтобы найти значение алгебраического выражения, сначала заменяют каждую переменную заданным числом, а затем вычисляют полученную запись. Если подставляется отрицательное число, его заключают в скобки: знак минус является частью числа и может повлиять на результат степени или умножения. Например, при a = −2 запись a² становится (−2)². После подстановки порядок действий остаётся тем же, что и в любом числовом выражении.
Одно выражение с переменной может принимать разные значения, потому что при разных подстановках меняются числа, участвующие в вычислении. Например, a + 5 при a = 1 равно 6, а при a = 4 равно 9. Само правило при этом не меняется — меняется выбранное значение переменной. Поэтому, говоря о результате, нужно указывать, при каких значениях переменных он найден.
В дробном выражении сначала проверяют знаменатель: он не должен обращаться в ноль. Например, у дроби (x + 4)/(x − 1) знаменатель равен нулю при x = 1, значит, эту подстановку использовать нельзя. Ограничение ищут до вычисления, иначе можно получить деление на ноль. Для других выражений также проверяют, не приводит ли подстановка к невозможному действию.
| Признак | Числовое выражение | Алгебраическое выражение |
|---|---|---|
| Из чего состоит запись | Из чисел, знаков действий и скобок | Из чисел, знаков действий, скобок и переменных |
| Есть ли переменные | Нет | Да, могут быть одна или несколько |
| Как найти значение | Выполнить действия по порядку | Подставить значения переменных и выполнить действия |
| Когда выражение имеет смысл | Когда все записанные действия можно выполнить | При допустимых значениях переменных и выполнимых действиях |
| Пример | 18 − 2 · (5 + 1) | 3a² − 2b |
Сначала определите, есть ли в записи переменные: это подскажет, нужно ли что-либо подставлять. Затем проверьте, можно ли выполнить все действия при выбранных значениях. Таблица помогает быстро сравнить записи, но порядок действий нужно соблюдать в обоих случаях.
Вычислите значение числового выражения 18 − 2 · (5 + 1). В записи есть скобки и умножение, поэтому вычитание нельзя выполнять первым, хотя оно стоит в начале. Сначала найдём значение в скобках, затем продолжим вычисление по порядку действий.
Ответ: 6.
Найдите значение выражения 3a² − 2b при a = −2 и b = 5. Сначала подставим числа вместо букв, причём отрицательное значение a запишем в скобках. Так будет видно, что в квадрат возводится всё число −2, а не только цифра 2.
Ответ: 2.
Найдите значение выражения (x + 4)/(x − 1) при x = 3 и укажите, при каком значении x оно не имеет смысла. Перед вычислением проверим знаменатель: именно он показывает, можно ли выполнить деление. Затем подставим допустимое значение и посчитаем числитель и знаменатель.
Ответ: при x = 3 значение выражения равно 7/2; выражение не имеет смысла при x = 1.
Первая ошибка — складывать или вычитать раньше умножения и деления. Так делают, если читают запись слева направо и не учитывают, что у действий разный порядок. Проверьте себя: сначала отметьте скобки и действия высших ступеней, а уже потом вычисляйте остальное.
Вторая ошибка — подставлять отрицательное число без скобок, например считать a² при a = −2 как −2². Минус могут ошибочно принять за знак действия перед степенью, а не за часть числа. Записывайте подстановку в виде (−2)² и проверяйте, что в квадрат возводится всё число.
Третья ошибка — считать, что переменной всегда можно присвоить любое число. Такое предположение приводит к делению на ноль в дробном выражении. Перед вычислением приравняйте знаменатель к нулю и исключите найденные значения переменной.
Четвёртая ошибка — путать выражение с его значением. Запись с переменной принимают за готовое число, хотя результат зависит от подстановки. Проверьте себя: если значения переменных не заданы, не называйте конкретное число результатом; укажите, что для вычисления нужна подстановка.
Для работы с выражениями нужны навыки арифметических действий с натуральными, целыми и дробными числами, в том числе с отрицательными. Понимание порядка действий и роли скобок пригодится при преобразовании выражений и решении уравнений. Подстановка переменных встречается при использовании формул и функций, а также при вычислении значений выражений. Поэтому аккуратная запись вычислений помогает не только в этой теме, но и в последующих разделах алгебры.
Чем числовое выражение отличается от алгебраического?
В числовом выражении есть числа, знаки действий и, возможно, скобки, но нет переменных. Алгебраическое выражение содержит переменные, поэтому его значение можно найти после подстановки чисел.
Как определить порядок действий в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень. После этого выполняют умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание; действия одинаковой ступени выполняют слева направо.
Зачем заключать подставляемое отрицательное число в скобки?
Скобки показывают, что минус относится ко всему подставленному числу. Например, при a = −2 выражение a² превращается в (−2)² и равно 4.
Как найти значение выражения при заданных значениях переменных?
Замените каждую переменную заданным числом, отрицательные числа запишите в скобках. Затем выполните действия по установленному порядку, не забывая сначала проверить, допустимы ли подставленные значения.
Как определить, при каких значениях переменной выражение не имеет смысла?
Нужно проверить, не приводит ли подстановка к невозможному действию. Для дробного выражения найдите, при каком значении переменной знаменатель становится равен нулю, и исключите это значение.
§ 1. Числовые и алгебраические выражения
