"Алгебра", Мордкович А.Г.
Числовое выражение записывают с помощью чисел и знаков действий, а алгебраическое содержит ещё и переменные — буквы, обозначающие числа. Выражения помогают описывать вычисления и зависимости, составлять формулы и находить результаты для разных исходных данных. Чтобы вычислить значение, нужно соблюдать порядок действий; если в записи есть переменная, сначала подставляют вместо неё заданное число. При этом проверяют, допустима ли подстановка: например, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, например 18 − 2 · (5 + 1). Чтобы найти его значение, выполняют все действия в правильном порядке. Так получают конкретное число, которое можно проверить повторным вычислением. Числовые выражения нужны, чтобы записывать вычисления коротко и понятно.
Алгебраическое выражение — запись, в которой есть числа, переменные и знаки действий, например 3a − 2b. Переменная — это буква, обозначающая число, которое может быть задано или меняться. Благодаря буквам можно записать вычисление сразу для многих чисел, а не перечислять отдельные случаи. Например, запись 3a подходит для любого допустимого значения a.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения действий или подстановки заданных значений переменных. Если в записи есть буквы, сначала заменяют их указанными числами, а затем вычисляют результат. Это понятие помогает отличать саму запись от результата вычислений. Например, 2 + 5 — выражение, а 7 — его значение.
Допустимые значения переменной — числа, при которых выражение имеет смысл и все записанные действия можно выполнить. Например, в дроби нельзя делить на ноль, поэтому значения, обнуляющие знаменатель, исключают. Проверка допустимых значений нужна до подстановки, чтобы не получить действие, которое выполнить невозможно. У выражения (x + 2)/(x − 3) значение x = 3 недопустимо.
Чтобы отличить числовое выражение от алгебраического, посмотрите, есть ли в записи переменная. Запись 8 · (4 − 1) числовая: все числа уже известны, поэтому результат можно вычислить сразу. В выражении 8 · (a − 1) буква a оставляет часть вычисления незаданной. Такая запись алгебраическая, потому что её значение зависит от числа, которое обозначает a.
При вычислениях важно соблюдать порядок действий, иначе одна и та же запись может дать разные результаты. Сначала выполняют действия в скобках, а затем возведение в степень, потому что скобки задают отдельную часть вычисления. Далее выполняют умножение и деление слева направо, после них — сложение и вычитание слева направо. Например, в 2 + 3 · 4 сначала находят 3 · 4, а не складывают 2 и 3.
Чтобы найти значение алгебраического выражения, вместо каждой переменной подставляют заданное число, а затем выполняют действия. Подставленное отрицательное число заключают в скобки: иначе знак минус может изменить смысл записи или порядок действий. Например, при a = −2 выражение 3a записывают как 3 · (−2). После подстановки получается числовое выражение, которое вычисляют по обычным правилам.
Не любое число можно подставить в алгебраическое выражение: некоторые действия при этом становятся невозможными. Чаще всего ограничение возникает у дроби, потому что деление на ноль не определено. Чтобы найти допустимые значения, выясняют, когда знаменатель обращается в ноль, и исключают эти значения. Например, у дроби (x + 2)/(x − 3) знаменатель равен нулю при x = 3, значит, это значение недопустимо.
Одно и то же алгебраическое выражение может иметь разные значения, поскольку результат зависит от переменных. Например, если взять выражение a + 2, то при a = 1 получится 3, а при a = 4 получится 6. Меняется не сама запись, а число, которое подставляют вместо буквы. Поэтому при записи значения выражения всегда указывают, каким числам равны переменные.
| Признак | Числовое выражение | Алгебраическое выражение |
|---|---|---|
| Какие элементы входят в запись | Числа, знаки действий, скобки | Числа, переменные, знаки действий, скобки |
| Есть ли переменные | Нет | Да |
| Как находят значение | Выполняют действия по порядку | Подставляют заданные числа и выполняют действия |
| Когда выражение имеет смысл | Когда все действия можно выполнить | При допустимых значениях переменных, когда все действия можно выполнить |
Сначала проверьте, есть ли в записи буквы: это самый быстрый способ определить вид выражения. Затем выясните, нужно ли подставить числа, чтобы получить результат. Последняя строка таблицы напоминает, что вычисления должны быть возможны, в частности делить на ноль нельзя.
Задача 1. Найдите значение числового выражения 18 − 2 · (5 + 1). Сначала определим порядок действий: выражение в скобках выполняется раньше умножения и вычитания. Так мы не перепутаем вычисления и сохраним смысл исходной записи. Затем последовательно найдём промежуточные результаты.
Задача 2. Найдите значение выражения 3a − 2b при a = 4 и b = −1. Сначала заменим каждую переменную заданным числом, сохраняя знаки. Число −1 поставим в скобки, чтобы было ясно, что минус относится к значению b. После подстановки вычислим полученное числовое выражение.
Задача 3. Найдите допустимые значения x и значение выражения (x + 2)/(x − 3) при x = 5. Сначала проверим знаменатель, поскольку деление на ноль невозможно. Затем убедимся, что предложенное значение переменной допустимо, и только после этого подставим его. Такой порядок помогает не выполнять вычисления для запрещённого значения.
Ошибка: выполнять действия строго слева направо, не учитывая их порядок. Так иногда делают, потому что при чтении текста мы привыкли двигаться последовательно, но в вычислениях умножение и деление предшествуют сложению и вычитанию. Проверьте себя: отметьте скобки, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Например, в 2 + 3 · 4 сначала считают произведение.
Ошибка: подставлять отрицательное число без скобок. Из-за этого можно неверно понять, к чему относится минус, особенно если переменная стоит в выражении со степенью или вычитанием. При подстановке заменяйте букву целиком числом в скобках: при a = −2 запись 3a² превращается в 3 · (−2)². Проверьте, что скобки окружают именно отрицательное значение.
Ошибка: считать, что переменная может принимать любое число. Обычно буква действительно может обозначать разные числа, но конкретные действия иногда накладывают ограничение. При делении найдите значения, обнуляющие знаменатель, и исключите их. Для самопроверки подставьте найденное число в знаменатель: если вышел ноль, оно недопустимо.
Ошибка: путать выражение и его значение. Выражение — это запись, а значение — результат вычисления при заданных числах; их смешивают, потому что оба объекта могут содержать числа и знаки действий. Проверьте себя: если действия ещё не выполнены, перед вами выражение. Если получено число после вычислений или подстановки, это значение выражения.
Для работы с выражениями нужны арифметические действия с натуральными, целыми и рациональными числами, правила знаков и порядок действий. Эти знания позволяют верно выполнять подстановку и вычислять результат, в том числе если в записи есть отрицательные числа и дроби. Если арифметические правила забылись, стоит повторить их перед решением задач. Тогда алгебраическая запись станет понятнее.
Выражения используют при преобразованиях, решении уравнений и подстановке чисел в формулы. Привыкнув отличать запись от её значения и проверять допустимые числа, проще разбирать более сложные вычисления. В уравнениях и формулах переменные также обозначают числа, а результат зависит от их значений. Поэтому этот параграф служит основой для дальнейшего изучения алгебры.
Чем числовое выражение отличается от алгебраического?
В числовом выражении есть числа, знаки действий и скобки, но нет переменных. В алгебраическом выражении есть переменная — буква, которая обозначает число.
Как правильно подставлять отрицательное число вместо переменной?
Отрицательное число при подстановке заключают в скобки. Например, если a = −2, то в выражении 3a² записывают 3 · (−2)².
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень. После этого выполняют умножение и деление слева направо, а потом сложение и вычитание слева направо.
Как определить, при каких значениях переменной выражение имеет смысл?
Нужно проверить, не становятся ли невозможными действия при выбранных значениях. Например, в дроби исключают значения, при которых знаменатель равен нулю.
Может ли одно алгебраическое выражение иметь разные значения?
Да, если переменная принимает разные значения, результат тоже может меняться. Например, выражение a + 2 при a = 1 равно 3, а при a = 4 равно 6.
§ 1. Числовые и алгебраические выражения
