"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Вероятность события можно находить, считая подходящие исходы или измеряя часть области, в которой выбирают случайную точку. Первый способ работает для конечного набора равновозможных результатов: вероятность равна доле благоприятных исходов. Комбинаторика помогает подсчитать эти результаты без полного перечисления. Второй способ нужен, когда точек бесконечно много: тогда сравнивают длины, площади или объёмы. В обоих случаях важно точно определить все возможные результаты и способ их выбора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равновозможные исходы — исходы опыта, каждый из которых имеет одинаковую вероятность. Это условие нужно для подсчёта вероятности по количеству: только тогда каждый исход можно учитывать как равную долю общего числа. Например, у симметричного кубика все шесть граней равновозможны.
Благоприятный исход — исход, при котором происходит рассматриваемое событие. Чтобы отличить его от любого возможного исхода, сначала сформулируйте условие события и проверьте каждый результат именно по этому условию. При броске кубика для события «выпало больше 4» благоприятны результаты 5 и 6.
Классическая вероятность — отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Если событие обозначить A, то P(A) = m/n, где m — число исходов, подходящих событию, а n — общее число исходов. Эта формула позволяет вычислять вероятность, когда результаты можно перечислить или подсчитать.
Геометрическая вероятность — отношение меры благоприятной области к мере всей области, в которой случайно выбирается точка. Мерой называют величину, которой измеряют область: длину, площадь или объём. Такое отношение используют, когда точек бесконечно много и считать их по отдельности нельзя.
Сначала случайный опыт нужно описать так, чтобы каждый возможный результат был понятен и отличался от остальных. Получившийся набор называют множеством исходов; например, при одном броске кубика это числа от 1 до 6. Затем проверьте, имеют ли результаты одинаковые шансы: одинаковый способ записи ещё не доказывает равновозможность. Если шанс каждого исхода одинаков, набор можно использовать для классического подсчёта.
Пусть всего есть n равновозможных исходов, и событию подходят m из них. Вероятность каждого исхода равна 1/n, поэтому вероятность события складывается из вероятностей m подходящих исходов и равна m/n. Именно равновозможность позволяет заменить сложение вероятностей простым подсчётом. Если исходы неравновозможны, их нельзя считать одинаковыми единицами: нужно учитывать вероятности каждого результата отдельно.
Перечислять исходы по одному удобно только в небольших задачах. Правило умножения помогает считать последовательные независимые шаги: если на первом шаге есть a вариантов, а на втором для каждого из них b вариантов, то всего ab пар. Правило сложения применяют для взаимоисключающих случаев, объединяя их количества. При использовании формул комбинаторики сначала решите, важен ли порядок: код 12 отличается от 21, а набор из двух выбранных книг обычно от перестановки этих книг не меняется.
В геометрической задаче все возможные результаты представляют точками некоторой области: например, точками квадрата, отрезка или круга. Событие задаёт часть этой области, в которую должна попасть точка. Тогда вместо количества исходов рассматривают меру части и всей области. Такое представление особенно удобно, когда возможных точек бесконечно много и перечислить их невозможно.
Отношение длин, площадей или объёмов работает при равномерном выборе: точка не должна предпочитать одни части области другим. Если выбирают точку на отрезке, вероятность попасть в подотрезок определяется отношением длин; для плоской фигуры — отношением площадей. Мера в числителе и знаменателе должна быть одного вида, иначе сравнение не имеет смысла. Также необходимо учитывать границы: в благоприятную область входит только та её часть, которая доступна для выбора.
| Характеристика | Классическая вероятность | Геометрическая вероятность |
|---|---|---|
| Что считается всеми возможными результатами | Конечный набор равновозможных исходов | Точки всей области выбора |
| Что считается благоприятными результатами | Исходы, при которых происходит событие | Часть области, соответствующая событию |
| Как измеряют множество результатов | Подсчитывают исходы | Находят длину, площадь или объём |
| Формула вероятности | P(A) = m/n | P(A) = мера благоприятной части / мера всей области |
| Основное условие применения | Исходы конечны и равновозможны | Выбор точки равномерный |
Сначала определите, какие результаты описывает задача: отдельные исходы или точки области. Для конечного равновозможного набора используйте подсчёт, а для равномерного выбора точки — отношение мер. Если условия применения выбранного способа не выполнены, формула даст ненадёжный результат.
Задача 1. Случайно выбирают одно двузначное число от 10 до 99. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 5. Все числа выбираются одинаково вероятно, поэтому можно воспользоваться классической формулой. Подсчитаем общее и благоприятное число исходов.
Ответ: 1/10. Разбиение по десяткам помогает не пропустить подходящие числа и показывает, почему их девять.
Задача 2. Одновременно бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше 10. Результат удобно записывать парой чисел: первое значение относится к первому кубику, второе — ко второму. Поэтому пары с переставленными числами считаются разными исходами.
Ответ: 1/6. Если считать пары (4, 6) и (6, 4) одним исходом, общее и благоприятное числа будут подсчитаны по-разному.
Задача 3. В квадрате со стороной 10 случайно и равномерно выбирают точку. Найдите вероятность того, что расстояние от неё до центра квадрата не превосходит 2. Благоприятная область — круг с центром в центре квадрата и радиусом 2. Сравним площади круга и квадрата.
Ответ: π/25. Равномерность выбора позволяет сравнить площади, а проверка расположения круга гарантирует, что его площадь целиком является благоприятной.
Классическую формулу применяют, не проверив равновозможность исходов. Так бывает, когда результаты удобно перечислить, и кажется, что каждый из них имеет одинаковый шанс. Проверьте условия опыта: например, грани несимметричного кубика могут выпадать с разной вероятностью, и тогда простой подсчёт не подходит.
Общее число исходов считают неверно, игнорируя порядок или повторения. Ошибка возникает, если сначала применить формулу комбинаторики, не уточнив, что именно считается результатом. Запишите несколько возможных результатов и сравните их: если перестановка меняет исход опыта, порядок нужно учитывать; если элемент может повториться, повторения также учитывают.
В геометрической вероятности иногда делят длину на площадь или сравнивают другие меры разных размерностей. Такое отношение не описывает долю области, потому что числитель и знаменатель измеряют разные величины. Перед вычислением подпишите меры: длина делится на длину, площадь — на площадь, объём — на объём.
Меру благоприятной части находят, не проверив её границы и положение. Например, круг может частично выходить за пределы квадрата, из которого выбирают точку, поэтому нельзя брать площадь всего круга. Нарисуйте область выбора и выделите её пересечение с благоприятной областью; измерять нужно только эту часть.
Для классической вероятности нужны понятия случайного опыта, события и вероятности, а также навыки подсчёта вариантов. Правила сложения и умножения помогают находить число исходов, когда опыт состоит из нескольких шагов. Если не определить, что считается результатом, легко ошибиться и в подсчёте, и в самой вероятности.
Те же способы подсчёта лежат в основе задач на сочетания, размещения и перестановки: они различаются тем, важен ли порядок и допускаются ли повторения. Геометрическая вероятность переносит идею доли на выбор точки или момента времени. Она помогает моделировать ситуации, где возможных результатов бесконечно много, но их можно измерять.
Почему в классической формуле вероятности нужно, чтобы исходы были равновозможными?
Формула считает все исходы одинаковыми по вкладу в вероятность события. Если одни результаты возникают чаще других, простое отношение количества исходов даст неверный ответ. Например, у несимметричного кубика грани не обязаны выпадать с одинаковой вероятностью.
Как понять, нужно ли учитывать порядок при подсчёте исходов?
Спросите, различаются ли результаты опыта, если поменять элементы местами. При броске двух кубиков исходы (2, 5) и (5, 2) различны, потому что первый и второй кубики дают разные результаты. При выборе пары предметов без указания порядка такая перестановка обычно не создаёт нового результата.
Можно ли применять формулу классической вероятности, если исходов бесконечно много?
В обычном виде нельзя: формула требует конечного числа равновозможных исходов. Для непрерывного выбора, например точки на отрезке, используют геометрическую вероятность и сравнивают длины или другие подходящие меры.
Почему геометрическую вероятность вычисляют через отношение площадей?
Если точка равномерно выбирается из плоской области, одинаковые по площади части имеют одинаковую вероятность получить точку. Поэтому вероятность попадания в нужную часть равна отношению её площади к площади всей области. Для отрезков используют длины, а для пространственных областей — объёмы.
Что делать, если благоприятная область пересекает границу всей области?
Нужно учитывать только ту часть благоприятной области, которая лежит внутри области выбора. Найдите площадь или другую меру именно их пересечения, а затем разделите её на меру всей области. Часть за границей не может быть результатом опыта.
1.2.4. Применение комбинаторики при решении вероятностных задач Геометрическая вероятность
