§ 1. Тригонометрические функции. Основные свойства

Определения и обозначения

На единичной окружности радиуса 1 углу x соответствует точка. Её координаты равны (cos x; sin x): косинус — первая координата, синус — вторая. Это определение связывает угол с числом и позволяет рассматривать синус и косинус для любых углов, а не только для острых углов прямоугольного треугольника.

Тангенс угла определяют формулой tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0, а котангенс — формулой ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0. Деление на ноль невозможно, поэтому для этих функций сразу указывают запрещённые значения аргумента. Такие ограничения нужны, чтобы не подставлять в вычисления углы, для которых функция не определена.

Область определения — множество всех допустимых значений x, а область значений — множество чисел, которые может принимать функция. Для синуса и косинуса область определения — все действительные числа, а значения лежат от −1 до 1. У тангенса x ≠ π/2 + πk, у котангенса x ≠ πk, где k ∈ Z; их области значений — все действительные числа.

Как это устроено

Угол на окружности можно увеличивать или уменьшать на полный оборот 2π, и точка при этом возвращается в исходное положение. Поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x: период синуса и косинуса равен 2π. У тангенса и котангенса период π, потому что после поворота на пол-оборота отношение координат снова такое же: tg(x + π) = tg x, ctg(x + π) = ctg x.

Если заменить x на −x, точка окружности отражается относительно горизонтальной оси. При таком отражении абсцисса не меняется, а ордината меняет знак, поэтому cos(−x) = cos x, но sin(−x) = −sin x. Функция, которая не меняется при смене знака аргумента, называется чётной; если значение меняет знак — нечётной. Тангенс и котангенс нечётные, поскольку каждый из них выражен отношением нечётной функции к чётной или наоборот.

Координаты точки единичной окружности не могут выходить за пределы от −1 до 1. Отсюда следует −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1. При этом отношение координат может быть сколь угодно большим по модулю, когда знаменатель близок к нулю, поэтому тангенс и котангенс принимают любые действительные значения, кроме точек, где они не определены.

Тождество sin² x + cos² x = 1 следует из уравнения единичной окружности: квадрат абсциссы точки плюс квадрат её ординаты равен 1. Разделив это равенство на cos² x, получают 1 + tg² x = 1 / cos² x, если cos x ≠ 0. Такие тождества помогают выразить одну тригонометрическую функцию через другую, но делить можно только при ненулевом знаменателе.

На каждом промежутке, где функция определена, её график ведёт себя закономерно: синус и косинус повторяются через 2π, а тангенс и котангенс — через π. У синуса и косинуса графики ограничены полосой −1 ≤ y ≤ 1. У тангенса вертикальные асимптоты возникают в точках π/2 + πk, а у котангенса — в точках πk, потому что там знаменатель соответствующей дроби обращается в ноль.

Свойства основных тригонометрических функций

Перед вычислением по таблице сначала проверьте, попадает ли аргумент в область определения функции. Период позволяет заменить аргумент на более удобный, прибавив или вычтя целое число периодов. Чётность помогает перенести минус за скобки или убрать его там, где функция чётная.

Разбор задач

Задача: найдите sin(−π/6), cos(−π/6), tg(−π/6) и проверьте, определён ли ctg(−π/6). Здесь нужно не вычислять каждую функцию заново, а выбрать подходящие свойства. Известные значения при π/6 равны sin(π/6) = ½, cos(π/6) = √3/2, tg(π/6) = √3/3 и ctg(π/6) = √3.

1. Проверим допустимость аргумента −π/6. Он не имеет вид π/2 + πk и не равен πk, поэтому все четыре функции при этом аргументе определены.

2. Используем нечётность синуса: sin(−x) = −sin x. Получаем sin(−π/6) = −sin(π/6) = −½.

3. Косинус чётный, поэтому cos(−x) = cos x. Значит, cos(−π/6) = cos(π/6) = √3/2.

4. Тангенс и котангенс нечётные. Поэтому tg(−π/6) = −tg(π/6) = −√3/3, а ctg(−π/6) = −ctg(π/6) = −√3.

5. Сделаем проверку связи tg x · ctg x = 1. Получаем (−√3/3) · (−√3) = 1, значит найденные значения согласуются между собой.

Ответ: sin(−π/6) = −½, cos(−π/6) = √3/2, tg(−π/6) = −√3/3, ctg(−π/6) = −√3; все значения определены. Минусы у синуса, тангенса и котангенса появились из-за их нечётности, а значение косинуса осталось положительным из-за его чётности.

Типичные ошибки

• Записывают, что тангенс определён при любом x. Ошибка возникает, если забыть, что tg x — это дробь с cos x в знаменателе. Перед вычислением найдите запрещённые значения x = π/2 + πk и проверьте, не попал ли аргумент в этот ряд.

• Путают периоды синуса и тангенса. Период синуса равен 2π, а тангенса — π, поскольку отношение координат на окружности повторяется уже через пол-оборота. Проверяйте период подстановкой в формулу функции, а не переносите его с другой функции.

• Считают косинус нечётной функцией и меняют знак при x → −x. Причина — попытка применить одно правило сразу ко всем функциям. Проверьте симметрию: cos(−x) = cos x, тогда как sin(−x) = −sin x.

• Сокращают дроби или делят на sin x либо cos x, не проверив, что знаменатель отличен от нуля. В результате могут появиться значения, при которых исходное выражение не определено. Сначала запишите ограничения, затем выполняйте преобразования и в конце сверьте ответ с ними.

Связь с другими темами

Тригонометрические функции продолжают изучение функций: для каждой задают область определения, область значений и период, а её свойства отражаются на графике. Связь sin² x + cos² x = 1 опирается на теорему Пифагора и уравнение окружности. Формулы тангенса и котангенса используют правила действий с дробями, поэтому при упрощении тригонометрических выражений важны те же ограничения на знаменатель. Периодичность пригодится при решении уравнений и описании повторяющихся процессов.

Что запомнить

• На единичной окружности координаты точки равны (cos x; sin x).
• tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x; знаменатель не должен быть равен нулю.
• Область значений sin x и cos x — [−1; 1], а tg x и ctg x принимают все действительные значения.
• Периоды sin и cos равны 2π, периоды tg и ctg равны π.
• cos x — чётная функция; sin x, tg x и ctg x — нечётные.
• Основное тождество: sin² x + cos² x = 1.