"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Комбинаторика помогает считать, сколькими способами можно выбрать или расположить предметы, а теория вероятностей — оценивать возможность события. Чтобы решить задачу, нужно выяснить, используются ли все элементы или только часть и важен ли порядок. Для подсчёта применяют правило умножения, факториалы, перестановки, размещения и сочетания. Если исходы равновозможны, вероятность находят как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перестановка — упорядочение всех n различных элементов. Число перестановок равно Pₙ = n!, где факториал n — произведение натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 · 2 · … · n, а 0! = 1. Например, 4! = 24. Эта формула нужна, когда требуется расставить все предметы и важна их очередность.
Размещение — упорядоченный выбор k элементов из n различных. Его число вычисляют по формуле Aₙᵏ = n!/(n−k)!. Порядок здесь важен: например, выбор ученика старостой и выбор его заместителем — разные результаты. Размещения помогают считать варианты, когда выбирают не всех и назначают выбранным разные роли.
Сочетание — выбор k элементов из n различных без учёта порядка. Число сочетаний равно Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!). Если меняется только очередность перечисления участников, но не состав команды, это всё ещё один и тот же выбор. Формула нужна для подсчёта именно таких наборов.
Вероятность события — числовая мера возможности события в опыте с равновозможными исходами. Если всего n исходов, а событию A благоприятствуют m из них, то P(A) = m/n. «Благоприятными» называют исходы, при которых событие происходит. Вероятность показывает, какую долю всех возможных исходов они составляют.
Когда выбор делают в несколько последовательных шагов, число всех вариантов зависит от числа вариантов на каждом шаге. Если первый шаг можно выполнить m способами, а для каждого его результата второй шаг — n способами, получаем m · n пар вариантов. Это правило умножения: каждый вариант первого шага сочетается с каждым вариантом второго. Например, две рубашки и три пары брюк дают 2 · 3 = 6 комплектов.
Чтобы выбрать формулу, нужно ответить на два вопроса: берём все элементы или только часть, и важен ли порядок? Если все элементы занимают разные места, получаются перестановки. Если выбирают часть и назначают ей роли или места, это размещения; если выбирают состав группы без ролей — сочетания. Проверка порядка простая: если поменять двух выбранных участников местами и результат изменится, порядок важен.
Формула размещений следует из последовательного выбора k элементов без повторений. На первое место можно поставить любой из n элементов, на второе — один из n−1 оставшихся, далее вариантов становится на один меньше. Поэтому Aₙᵏ = n · (n−1) · … · (n−k+1). Это произведение можно записать через факториалы: из n! убирают множители от 1 до n−k, разделив на (n−k)!.
При подсчёте сочетаний важно не учитывать перестановку уже выбранных элементов как новый результат. Каждый набор из k элементов размещения посчитают k! раз: по одному разу для каждого порядка этих элементов. Значит, число сочетаний получается делением числа размещений на k!: Cₙᵏ = Aₙᵏ/k!. Подставив формулу размещений, получаем Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!).
Вероятность можно найти после того, как подсчитаны исходы опыта. Сначала перечисляют или считают все возможные исходы, затем выделяют те, в которых событие происходит. Если исходы равновозможны, каждый имеет одинаковый шанс, поэтому доля благоприятных исходов среди всех и есть вероятность. Когда равновозможность не подтверждена, формулу P(A) = m/n применять нельзя.
| Что подсчитываем | Все n элементов или часть | Важен ли порядок | Формула |
|---|---|---|---|
| Перестановки | Все n элементов | Да | Pₙ = n! |
| Размещения | Часть k элементов | Да | Aₙᵏ = n!/(n−k)! |
| Сочетания | Часть k элементов | Нет | Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!) |
Пользуйся таблицей как схемой выбора: сначала найди, берёшь ли ты все элементы или только часть. Затем реши, считается ли перестановка выбранных элементов другим результатом. Эти два ответа укажут на нужную строку и формулу.
Здесь участвуют все три книги, а их порядок меняет результат: перестановка двух книг создаёт другую расстановку. Значит, нужно найти число перестановок, а не просто выбрать набор книг. По формуле Pₙ = n! при n = 3 получаем 3! = 3 · 2 · 1 = 6.
Ответ: 6 способов.
Выбирают двух разных учеников, но должности у них неодинаковые. Если поменять выбранных местами, старостой станет другой человек, то есть получится иной результат. Значит, это размещение двух учеников из восьми, или последовательный выбор с учётом ролей.
Ответ: 56 способов.
Команда — это набор без назначенных ролей, поэтому команды считаются сочетаниями. Условие означает, что оба заранее выбранных человека должны войти в тройку, а третьего выбирают из остальных восьми. Поскольку все команды равновозможны, вероятность равна отношению числа подходящих команд к общему числу команд.
Ответ: 1/15.
Ошибка — использовать сочетания, когда важны порядок или роли. Её допускают, сосредоточившись на том, кого выбрали, и забыв, кем он назначен; староста и заместитель дают разные результаты при перестановке. Проверь себя: поменяй выбранных людей местами — если задача описывает новый результат, порядок важен.
Формулу перестановок иногда применяют, хотя выбирают только часть элементов. Причина — слово «расставить» или «упорядочить» отвлекает от того, что не все участники задействованы. Перед вычислением посчитай, сколько элементов действительно используется: если меньше n, ищи размещение или сочетание.
При размещениях могут ошибочно оставлять одинаковое число вариантов на каждом шаге или допускать повторный выбор. Так происходит, если забыть, что элементы выбираются без повторений. Проверь последовательность: после первого выбора остаётся n−1 вариантов, после второго — n−2 и так далее.
Нельзя делить число благоприятных исходов на общее число, не проверив равновозможность. Привычка сразу применять формулу может скрыть, что некоторые исходы встречаются чаще других. Перед подсчётом выясни, одинаковы ли шансы всех исходов; если нет, классическая формула вероятности не подходит.
Для комбинаторных задач нужны умножение, деление, натуральные числа и умение рассуждать о последовательном выборе. Правило умножения позволяет подсчитывать исходы, а комбинаторные формулы — не перечислять их по одному. Такой подсчёт становится основой для нахождения вероятностей и помогает при изучении статистики и более сложных задач теории вероятностей. Факториал также встречается при преобразовании выражений и решении уравнений, где нужно работать с произведениями натуральных чисел.
Как понять, нужно ли в задаче использовать перестановки, размещения или сочетания?
Сначала выясни, используются все элементы или только часть. Затем проверь, меняется ли результат, если поменять выбранные элементы местами: если меняется, порядок важен. Все элементы с важным порядком — перестановки, часть с важным порядком — размещения, часть без учёта порядка — сочетания.
Почему в формуле сочетаний число размещений делят на k!?
Размещения считают каждый порядок выбранных k элементов отдельно. Но в сочетании все эти порядки обозначают один и тот же набор. Поскольку таких порядков k!, деление на k! убирает повторный подсчёт.
Что означает факториал числа?
Факториал n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 · 2 · … · n. Например, 4! = 24. По определению 0! = 1.
Можно ли применять классическую формулу вероятности, если исходы неравновозможны?
Нет, формулу P(A) = m/n можно применять, когда все исходы равновозможны. Если шансы исходов различаются, простого подсчёта их количества недостаточно. Тогда вероятность находят другими способами, учитывающими различие шансов.
Почему вероятность достоверного события равна 1, а невозможного — 0?
Достоверное событие происходит при каждом исходе, поэтому все n исходов благоприятны и P(A) = n/n = 1. Для невозможного события нет благоприятных исходов, значит, P(A) = 0/n = 0.
§ 2. Элементы комбинаторики и теории вероятностей
