"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Математическая модель помогает описать практическую ситуацию с помощью величин, букв и математических соотношений. Она нужна, чтобы заменить длинное условие понятной записью и решить задачу известными способами алгебры. Главное — выделить данные и вопрос, обозначить нужные величины, правильно записать связь между ними, а затем проверить, подходит ли найденный результат к исходной ситуации.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Реальная задача — это описание практической ситуации с известными условиями и вопросом, на который нужно ответить. Например, можно узнать цену покупки, время в пути или количество предметов. Это определение помогает отделить нужные для решения сведения от подробностей, которые на ответ не влияют.
Математическая модель — описание ситуации с помощью математических объектов, отношений и действий. В модели вместо длинного рассказа появляются числа, выражения, уравнения или неравенства. Она нужна, чтобы применить математические способы решения к практическому вопросу.
Переменная — буквенное обозначение неизвестной или изменяющейся величины в модели. Например, буквой x можно обозначить цену одного предмета или время движения. Если сразу пояснить, что означает буква и в каких единицах измеряется величина, запись будет легче связать с условием.
Решение реальной задачи — ответ, полученный из математической модели и проверенный на соответствие исходной ситуации. Одного вычисления недостаточно: найденное число может нарушать ограничения или отвечать не на тот вопрос. Проверка нужна, чтобы убедиться, что математический результат действительно описывает ситуацию.
Построение модели начинается с выделения существенных условий: известных данных, неизвестного и связей между величинами. Это нужно потому, что в тексте могут быть подробности, не влияющие на ответ, и их не следует включать в вычисления. Сначала полезно своими словами назвать, что известно и что требуется найти. Затем можно коротко записать, как величины связаны.
Чтобы перевести ситуацию на математический язык, величины обозначают переменными, а зависимости выражают равенствами, неравенствами или другими соотношениями. Выбор знака зависит от смысла слов в условии: «равно» указывает на точное равенство, а «не более» задаёт границу сверху. Если связь сначала проговорить словами, легче понять, какое выражение нужно составить. После этого запись можно проверить по каждому числу из условия.
Модель упрощает реальную ситуацию и включает только то, что влияет на ответ. Такое упрощение необходимо, потому что реальный мир бывает слишком сложным для точного описания: приходится, например, считать движение равномерным или не учитывать мелкие детали. Допущения нужно называть явно, иначе модель может описывать не ту ситуацию. Если упрощение меняет ответ или делает его неточным, модель следует пересмотреть.
Математическую задачу решают средствами алгебры, но найденное значение само по себе ещё не является ответом на исходную задачу. Алгебра показывает, какие значения удовлетворяют записанному соотношению, а смысл исходной ситуации может накладывать дополнительные ограничения. Например, отрицательный корень уравнения не подходит, если переменная обозначает число предметов. Поэтому математический результат сначала рассматривают как возможный, а не как окончательный ответ.
Полученный результат проверяют по условиям и смыслу ситуации, а затем формулируют ответ в исходных единицах. Проверка позволяет заметить, если забыто одно из данных, неверно записана связь или ответ не отвечает на вопрос. После неё можно оценить, подходит ли сама модель: все ли важные условия учтены и разумны ли допущения. Так решение связывает вычисления с реальной задачей.
| Этап | Что делаем | Что получаем |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделяем известные и неизвестные величины, существенные связи | Краткая схема ситуации |
| Выбор обозначений и допущений | Обозначаем неизвестные и уточняем, какие упрощения допустимы | Переменные и условия модели |
| Построение модели | Записываем зависимости математически | Уравнение, неравенство или другая математическая запись |
| Решение модели | Находим значения, удовлетворяющие математическим условиям | Математический результат |
| Проверка и ответ | Сопоставляем результат с исходной ситуацией и формулируем ответ | Ответ реальной задачи |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: не переходи сразу от чтения условия к вычислениям. На каждом этапе проверяй, что получилось, прежде чем двигаться дальше. Особенно внимательно сопоставляй математический результат с исходной ситуацией на последнем этапе.
За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Нужно узнать цену одной тетради. Так как тетради стоят одинаково, общая стоимость складывается из трёх равных цен.
Обозначим через x цену одной тетради в рублях. Тогда цена трёх тетрадей равна 3x. Такая запись отражает, что одинаковую цену складывают три раза.
По условию общая стоимость равна 90 рублям, поэтому составим уравнение 3x = 90. Разделим обе части на 3 и получим x = 30. Это значение удовлетворяет уравнению.
Проверим смысл результата: три тетради по 30 рублей стоят 3 · 30 = 90 рублей. Условие выполнено, а цена не может быть отрицательной и получилась положительной. Ответ: одна тетрадь стоит 30 рублей.
В двух коробках 38 карандашей, причём во второй на 6 карандашей больше, чем в первой. Требуется узнать количество карандашей в каждой коробке. Удобно обозначить неизвестное число карандашей в первой коробке, а количество во второй выразить через него.
Пусть x — число карандашей в первой коробке. Тогда во второй коробке x + 6 карандашей, поскольку их на 6 больше. Обе величины теперь выражены через одну переменную.
Сумма карандашей равна 38, поэтому запишем x + (x + 6) = 38. Упростим: 2x + 6 = 38, откуда 2x = 32 и x = 16. Во второй коробке тогда 16 + 6 = 22 карандаша.
Проверим оба условия: во второй коробке на 6 больше, потому что 22 − 16 = 6, а всего 16 + 22 = 38. Оба числа целые и положительные, поэтому подходят смыслу задачи. Ответ: в первой коробке 16 карандашей, во второй — 22.
Велосипедист ехал 2 часа со скоростью 12 км/ч, а затем несколько часов со скоростью 15 км/ч. Всего он проехал не более 66 км; нужно узнать, сколько времени он мог ехать на втором участке. Слова «не более» означают, что расстояние может быть равным 66 км или меньше.
Обозначим через t время второго участка в часах. Расстояние равно произведению скорости на время, поэтому на первом участке велосипедист проехал 12 · 2 = 24 км, а на втором — 15t км. Время не может быть отрицательным, значит t ≥ 0.
Сложим расстояния и учтём ограничение: 24 + 15t ≤ 66. Вычтем 24 из обеих частей, получим 15t ≤ 42, а после деления на 15 — t ≤ 2,8. Вместе с условием t ≥ 0 это даёт 0 ≤ t ≤ 2,8.
Проверим границу: при t = 2,8 общее расстояние равно 24 + 15 · 2,8 = 66 км, а при меньшем неотрицательном времени оно будет меньше. Поэтому подходят все значения времени от 0 до 2,8 часа включительно. Ответ: на втором участке велосипедист мог ехать не более 2,8 часа.
Переменной обозначают не ту величину или не поясняют, что она означает. Так происходит, когда букву вводят сразу, не связав её с вопросом; из-за этого непонятно, что именно найдено. Подпиши переменную словами и проверь, отвечает ли её значение на поставленный вопрос.
Числа из условия переносят в уравнение без учёта связи между величинами. Часто так бывает, если начать считать по порядку появления чисел, не разбирая смысл текста. Сначала проговори зависимость словами, затем проверь, выражает ли запись именно её.
Любое решение уравнения принимают за ответ задачи. Уравнение может дать значение, которое нарушает ограничения, например отрицательное число предметов. Подставь найденное значение в условие и проверь, возможно ли оно в описанной ситуации.
Забывают единицы измерения или отвечают не на поставленный вопрос, хотя вычисления верны. Это случается, когда сосредоточиваются только на числах и не перечитывают условие перед записью ответа. Проверь, названа ли нужная величина и указаны ли рубли, часы, километры или другие требуемые единицы.
Для построения модели нужно уметь выделять данные и вопрос задачи, выполнять действия с числами и понимать простые буквенные выражения. Эти навыки помогают перейти от слов к уравнению или неравенству. Позже модель пригодится при решении текстовых задач с помощью уравнений и неравенств. Идея моделирования продолжится при изучении зависимостей величин, функций и способов описывать реальные процессы.
Зачем заменять реальную задачу математической моделью?
Модель превращает описание ситуации в понятную математическую запись: например, уравнение или неравенство. С ней проще найти неизвестное, а затем проверить, подходит ли результат к условию.
Как понять, какую величину обозначить переменной?
Обычно переменной обозначают величину, которую требуется найти, или величину, через которую удобно выразить остальные. Сразу подпиши, что именно она означает, и укажи единицу измерения.
Всегда ли в модели нужно использовать уравнение?
Нет. Равенство подходит, когда величины связаны точным равенством, а неравенство — когда в условии сказано «не более», «не меньше» или указана граница. Иногда достаточно другой математической записи, например выражения или таблицы.
Почему найденный корень может не быть ответом задачи?
Уравнение может иметь значения, которые не подходят реальной ситуации: например, отрицательное число карандашей или время. Поэтому найденное значение проверяют по ограничениям условия и смыслу величины.
Как проверить, что математическая модель соответствует условию?
Подставь найденные значения в записанное соотношение и проверь, выполняется ли оно. Затем сопоставь результат с исходным текстом: учтены ли все данные, соблюдены ли ограничения и дан ли ответ именно на поставленный вопрос.
1.1.1. Математическая модель реальной задачи
