"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Формулы сокращённого умножения помогают быстро раскрывать скобки и, наоборот, превращать многочлен в произведение. Главные формулы — квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Их распознают по квадратам крайних членов и удвоенному произведению в среднем. Такие преобразования нужны для упрощения выражений, доказательства тождеств и решения уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула сокращённого умножения — тождество, которое позволяет быстро раскрыть скобки или представить многочлен в виде произведения. Тождество верно при любых допустимых значениях букв. Оно экономит вычисления и помогает узнавать знакомую структуру выражения.
Квадрат суммы — выражение, равное сумме квадратов слагаемых и удвоенного их произведения: (a + b)² = a² + 2ab + b². Здесь a и b — любые выражения, которые складываются. Формула нужна, чтобы заменить умножение двух одинаковых скобок готовым результатом.
Квадрат разности — выражение, равное сумме квадратов слагаемых без удвоенного произведения: (a − b)² = a² − 2ab + b². Знак минус стоит только у среднего члена, потому что последний член получается из квадрата b. Формула помогает быстро раскрывать скобки с разностью.
Разность квадратов — выражение a² − b², которое раскладывается на произведение суммы и разности: a² − b² = (a − b)(a + b). В отличие от квадрата разности, здесь нет среднего члена. Эта формула превращает разность двух квадратов в произведение.
Квадрат суммы означает, что сумма умножается сама на себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). При раскрытии скобок каждый член первой скобки умножается на каждый член второй: a², ab, ab и b². Два одинаковых произведения ab складываются, поэтому в результате появляется 2ab, а не одно ab.
В квадрате разности выполняется умножение (a − b)(a − b). Произведения −ab и −ab дают −2ab, поэтому средний член имеет отрицательный знак. Последний член равен (−b)(−b) = b², так как произведение двух отрицательных чисел положительно.
Разность квадратов получается при умножении разности на сумму: (a − b)(a + b). При раскрытии скобок возникают a², ab, −ab и −b². Средние слагаемые противоположны и уничтожаются, потому что ab − ab = 0, поэтому остаются только a² − b².
Формулы работают не только слева направо, но и справа налево. Если многочлен похож на a² + 2ab + b², его можно заменить квадратом суммы, а выражение a² − b² — произведением суммы и разности. Для выбора формулы сравните крайние члены с квадратами, средний — с удвоенным произведением, а затем проверьте результат раскрытием скобок.
В таблице слева указано знакомое выражение, в середине — формула, а справа — её обратное применение для разложения на множители. При раскрытии скобок двигайтесь от средней колонки к выражению справа. При разложении, наоборот, ищите в многочлене признаки одной из формул.
| Случай | Формула | Применение для разложения на множители |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | a² + 2ab + b² = (a + b)² |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | a² − 2ab + b² = (a − b)² |
| Разность квадратов | (a − b)(a + b) = a² − b² | a² − b² = (a − b)(a + b) |
Перед нами квадрат суммы, где первое слагаемое равно x, а второе — 4. Поэтому используем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Главное — не забыть средний член и правильно вычислить удвоенное произведение.
Ответ: (x + 4)² = x² + 8x + 16.
В выражении два слагаемых, соединённых знаком минус, и оба являются квадратами: 9a² = (3a)², а 25b² = (5b)². Значит, это разность квадратов, а не квадрат разности. Применяем формулу u² − v² = (u − v)(u + v).
Ответ: (3a − 5b)(3a + 5b).
Крайние члены являются квадратами: 4x² = (2x)² и 9y² = (3y)². Средний член равен −2 · 2x · 3y = −12xy, значит, перед нами квадрат разности. Это позволяет заменить весь трёхчленный многочлен одной квадратной скобкой.
Ответ: (2x − 3y)².
Пропуск среднего члена. Иногда записывают (a + b)² = a² + b², потому что видят только квадраты. Ошибка возникает из-за того, что не раскрывают обе скобки полностью. Проверьте себя умножением: должны появиться два произведения ab.
Минус перед последним квадратом. В квадрате разности ошибочно пишут a² − 2ab − b². Так делают, перенося знак разности на весь результат, хотя (−b)² = b². Раскройте последнюю пару множителей и проверьте знак произведения.
Смешение двух формул. Разность квадратов a² − b² путают с квадратом разности (a − b)². В первом выражении нет среднего члена, а во втором обязательно есть −2ab. Посмотрите, сколько слагаемых дано до преобразования.
Непроверенный полный квадрат. Два квадратных крайних члена ещё не доказывают, что многочлен является квадратом. Средний член обязан быть равен удвоенному произведению корней крайних квадратов с нужным знаком. После разложения раскройте скобки и сравните все три члена.
До изучения формул нужно уметь перемножать одночлены и многочлены, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Формулы часто применяют вместе с вынесением общего множителя за скобки, чтобы разложить выражение полнее. Они также используются при упрощении выражений, преобразовании тождеств и решении уравнений.
Почему в квадрате суммы появляется 2ab?
Квадрат суммы означает произведение (a + b)(a + b). При раскрытии скобок два раза получается произведение ab, поэтому одинаковые слагаемые складываются: ab + ab = 2ab.
Почему в квадрате разности последний член положительный?
Последний член возникает при умножении −b на −b. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому получается (−b)² = b².
Как отличить разность квадратов от квадрата разности?
Разность квадратов имеет вид a² − b² и раскладывается как (a − b)(a + b). Квадрат разности записывается так: (a − b)² = a² − 2ab + b², поэтому в нём есть средний член.
Как проверить, что многочлен является квадратом суммы или разности?
Проверьте, являются ли первый и последний члены квадратами. Затем найдите их корни и убедитесь, что средний член равен удвоенному произведению этих корней; знак перед ним определяет сумму или разность.
Можно ли применять формулы сокращённого умножения, если вместо a и b стоят многочлены?
Да, буквами a и b могут быть любые выражения. Например, формула квадрата суммы работает так: (x + 2y + z)² можно рассматривать как (x + (2y + z))², а затем раскрывать по формуле.
4.4.3. Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на множители
