4.4.5. Решение задач с помощью разложения многочленов на множители

Определения и обозначения

Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов. Например, x² − 5x можно записать как x(x − 5). Такая запись помогает увидеть, при каких значениях переменной выражение станет нулём, и упрощает решение уравнений.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, x = 5 — корень уравнения x − 5 = 0, потому что после подстановки получается 0 = 0. Корни находят, чтобы ответить на вопрос задачи, но затем обязательно проверяют, подходят ли они по смыслу.

Теорема о произведении, равном нулю, утверждает: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так, если (x − 2)(x + 3) = 0, то x − 2 = 0 или x + 3 = 0. Теорема позволяет заменить одно уравнение несколькими простыми.

Область допустимых значений — значения переменной, которые имеют смысл в условии задачи и должны учитываться при выборе ответа. Если переменная обозначает длину, она должна быть положительной; если речь о натуральном числе — целой и положительной. Проверка области допустимых значений не даёт включить в ответ неподходящий корень.

Как это устроено

Чтобы составить уравнение по текстовой задаче, сначала нужно понять, что требуется найти, и обозначить это одной переменной. Остальные величины выражают через неё, используя связи из условия: например, длина на 3 см больше ширины записывается как x + 3. Затем эти выражения подставляют в известное равенство, например формулу площади. Так условие превращается в уравнение, которое можно решать алгебраическими приёмами.

Многочлен в уравнении может выглядеть сложным, потому что его слагаемые складываются или вычитаются. Разложение меняет эту запись на произведение, а произведение проще исследовать: чтобы оно было нулём, достаточно обнулить один из множителей. Например, вместо x² − 5x = 0 получаем x(x − 5) = 0. Значит, можно решить два линейных уравнения, а не подбирать значения в исходном выражении.

После разложения применяют теорему о нулевом произведении: каждый множитель по очереди приравнивают к нулю. Если получилось (x − 4)(x + 2) = 0, то рассматривают x − 4 = 0 и x + 2 = 0. Отсюда находят возможные корни x = 4 и x = −2. Такой способ сохраняет все варианты, потому что нулём может стать любой из множителей.

Решение уравнения даёт математические корни, но не всегда даёт ответ задачи. Отрицательное значение может быть корнем уравнения, однако не может обозначать длину стороны; дробь может не быть натуральным числом. Поэтому найденные значения подставляют в исходное условие и проверяют, выполняются ли требования задачи. В ответ включают только те корни, которые подходят и уравнению, и смыслу условия.

Способ разложения выбирают по виду многочлена, чтобы получить произведение без лишних преобразований. Если у всех слагаемых есть общий множитель, его удобно вынести; если выражение можно разбить на пары с одинаковыми скобками — применить группировку. Разность квадратов и полный квадрат узнают по формулам сокращённого умножения. Если виден квадратный трёхчлен, можно подобрать множители, произведение которых даёт его свободный член, а сумма — коэффициент при переменной.

Приёмы разложения многочлена и их применение при решении задач

Сначала посмотри на выражение в первом столбце и выбери подходящий приём из третьего. Затем преобразуй многочлен по формуле из второго столбца и проверь раскрытием скобок, что получилось исходное выражение. Последний столбец показывает, как это преобразование помогает решить уравнение в задаче.

Разбор задач

Уравнение x² − 5x = 0

В уравнении оба слагаемых содержат x, поэтому можно вынести эту переменную за скобки. Получится произведение, равное нулю, и теорема позволит рассмотреть два случая. Делить на x сразу нельзя: тогда можно потерять решение x = 0.

1. Выносим общий множитель: x² − 5x = x(x − 5).
2. Приравниваем множители к нулю: x = 0 или x − 5 = 0.
3. Решаем второе уравнение: x = 5. Проверяем: оба значения обращают исходное выражение в нуль.

Ответ: x = 0 или x = 5.

Стороны прямоугольника

Обозначим ширину прямоугольника через x см. Тогда длина равна x + 3 см, а площадь равна произведению длины на ширину. По условию она составляет 40 см², поэтому получаем уравнение x(x + 3) = 40. Стороны должны быть положительными, и это условие понадобится при выборе корня.

1. Переносим 40 в левую часть: x² + 3x − 40 = 0.
2. Подбираем множители: нужны числа с произведением −40 и суммой 3. Это 8 и −5, поэтому x² + 3x − 40 = (x + 8)(x − 5).
3. Приравниваем множители к нулю: x = −8 или x = 5. Отрицательная ширина невозможна, значит, x = 5.
4. Находим длину: 5 + 3 = 8 см. Проверяем площадь: 5 · 8 = 40 см².

Ответ: ширина 5 см, длина 8 см.

Два последовательных натуральных числа

Пусть меньшее число равно x, тогда следующее за ним натуральное число равно x + 1. Их произведение по условию составляет 156, поэтому x(x + 1) = 156. Корни уравнения нужно проверить: оба числа должны быть натуральными и последовательными.

1. Раскрываем скобки и переносим всё в левую часть: x² + x − 156 = 0.
2. Ищем числа с произведением −156 и суммой 1. Это 13 и −12, поэтому x² + x − 156 = (x + 13)(x − 12).
3. Приравниваем множители к нулю: x = −13 или x = 12.
4. По условию x — натуральное число, поэтому −13 не подходит. При x = 12 второе число равно 13, а 12 · 13 = 156.

Ответ: 12 и 13.

Типичные ошибки

Деление уравнения на выражение с переменной может привести к потере корня. Например, при делении x² = 0 на x значение x = 0 исключается, хотя оно решает исходное уравнение. Ошибку допускают, когда считают переменную заведомо ненулевой; перед делением нужно это обосновать. Безопаснее сначала вынести общий множитель и применить теорему о нулевом произведении.

Нельзя заключать, что при ab = 0 одновременно a = 0 и b = 0: достаточно, чтобы нулём был хотя бы один множитель. Такое неверное применение теоремы может дать лишние условия или запутать решение. Проверь рассуждение на примере 0 · 7 = 0: второй множитель здесь не равен нулю. В уравнении нужно записывать варианты через «или».

При разложении часто ошибаются со знаками или раскрывают скобки не так, как было в исходном выражении. Например, при подборе множителей трёхчлена важно проверить и их произведение, и сумму. Ошибка появляется, если проверять только один из этих признаков. Для самопроверки раскрой скобки в полученном произведении и сравни каждый член с исходным многочленом.

Запись всех корней уравнения в ответ без проверки условия тоже неверна. Корень может оказаться отрицательной длиной или не быть натуральным числом, хотя уравнение он решает. Чтобы не допустить этой ошибки, вернись к обозначению переменной и ограничениям из текста задачи. Подставь подходящие значения в условие и проверь, что они дают верный ответ именно на поставленный вопрос.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны распределительное свойство умножения, формулы сокращённого умножения, преобразование выражений и решение линейных уравнений. Они помогают превратить многочлен в произведение и затем решить уравнения для множителей. Если эти действия пока вызывают трудности, полезно повторить раскрытие скобок и вынесение общего множителя.

Главный шаг после разложения опирается на теорему о произведении, равном нулю. Умение находить множители и корни подготавливает к решению квадратных уравнений, где встречаются многочлены второй степени. Разложение позволяет увидеть корни даже тогда, когда уравнение сначала записано в сложном виде.

Приём используется не только в обычных текстовых задачах, но и в геометрии, системах уравнений и неравенствах. Во всех этих случаях многочлен можно преобразовать, чтобы упростить поиск неизвестных. Проверка решения по исходным условиям остаётся необходимой частью рассуждения.

Что запомнить

• Разложить многочлен на множители — значит заменить сумму или разность произведением.
• После разложения произведение, равное нулю, превращают в несколько простых уравнений.
• Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.
• Корни уравнения нужно проверять в исходном условии.
• В задаче выбирают только значения, имеющие смысл по условию.
• Основные приёмы разложения — вынесение общего множителя, группировка и формулы сокращённого умножения.