Справочная информация

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и скобок. Чтобы найти его значение, выполняют действия в установленном порядке. Такое понятие нужно, чтобы отличать саму запись от результата вычислений.

Буквенное выражение содержит буквы, обозначающие числа. Его значение зависит от того, какие числа подставлены вместо букв. Буквы позволяют записывать общие правила и вычислять результат для разных значений переменных.

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Уравнение, в отличие от тождества, обычно верно только при некоторых значениях неизвестного, которые требуется найти. Различие помогает понять, нужно ли преобразовать запись или решить задачу поиска числа.

Формула сокращённого умножения связывает произведение или степень с многочленом — суммой одночленов. Например, квадрат суммы можно заменить многочленом a² + 2ab + b². Формулы нужны, чтобы быстрее раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители.

Как это устроено

Порядок действий задаёт последовательность вычислений, потому что без него одна и та же запись могла бы иметь разные результаты. Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень, умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо, если скобки не указывают иначе. Это правило одинаково работает в числовых и буквенных выражениях.

При подстановке переменной вместо неё ставят заданное число, сохраняя структуру исходной записи. Если подставляется отрицательное число, его обычно заключают в скобки: при x = −3 выражение x² становится (−3)². Иначе можно ошибочно прочитать запись как −3² и получить другой знак. Также нужно проверить, разрешено ли выбранное значение: например, делить на ноль нельзя.

Свойства сложения и умножения дают возможность переставлять и группировать слагаемые или множители, не меняя результата. Например, переместительное свойство позволяет записать a + b как b + a, а сочетательное — объединить удобную пару слагаемых. Распределительное свойство связывает умножение со сложением: a(b + c) = ab + ac. Благодаря ему можно раскрыть скобки или, наоборот, вынести общий множитель.

Формулы сокращённого умножения получают обычным раскрытием скобок. Если умножить (a + b) на такую же скобку, получится a² + ab + ab + b², то есть a² + 2ab + b². При умножении (a − b) на себя средние произведения отрицательны, поэтому выходит a² − 2ab + b². Произведение (a − b)(a + b) даёт a² + ab − ab − b², откуда получается разность квадратов a² − b².

Справочные формулы помогают сначала распознать знакомую структуру, а уже потом выполнять вычисления. Например, два квадрата, соединённые минусом, могут быть разностью квадратов, если каждое слагаемое действительно является квадратом. Квадрат двучлена узнаётся по скобкам в квадрате или по трём слагаемым с удвоенным произведением. Проверка раскрытием скобок помогает убедиться, что формула применена верно.

Основные сведения и формулы для преобразования выражений

В таблице собраны правила, которые помогают вычислять и преобразовывать выражения. Сначала определите, какая ситуация перед вами, затем сверьте запись с правилом и проверьте результат на примере. Если форма выражения не совпадает с формулой, не применяйте её механически.

Разбор задач

Задача. Вычислите значение выражения 18 − 2 · (5 + 1). Здесь важно не начинать с вычитания только потому, что оно записано первым. Скобки и порядок действий указывают, в какой последовательности считать.

1. Сначала вычисляем выражение в скобках: 5 + 1 = 6. Скобки задают действие, которое нужно выполнить раньше остальных. Поэтому исходная запись становится 18 − 2 · 6.
2. Затем выполняем умножение: 2 · 6 = 12. Умножение имеет приоритет перед вычитанием. Теперь получаем 18 − 12.
3. Выполняем вычитание: 18 − 12 = 6. Других действий не осталось, поэтому вычисление завершено. Ответ: 6.

Задача. Упростите выражение 3(x + 4) − 2x и найдите его значение при x = 5. Сначала преобразуем буквенную часть, чтобы не подставлять число в длинную запись. Распределительное свойство позволяет умножить внешний множитель на каждое слагаемое в скобках.

1. Раскрываем скобки: 3(x + 4) = 3x + 12. Множитель 3 относится и к x, и к 4. Поэтому выражение становится 3x + 12 − 2x.
2. Собираем подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью: 3x − 2x = x. Получаем упрощённое выражение x + 12. На этом шаге значение выражения не изменилось.
3. Подставляем x = 5: 5 + 12 = 17. Ответ: x + 12; при x = 5 значение равно 17. Проверка: исходное выражение даёт 3 · (5 + 4) − 2 · 5 = 27 − 10 = 17.

Задача. Разложите на множители выражение 49a² − 64b². Разложить на множители — значит представить выражение в виде произведения. Здесь оба слагаемых являются квадратами, а между ними стоит знак минус, поэтому проверим формулу разности квадратов.

1. Представляем слагаемые как квадраты: 49a² = (7a)², а 64b² = (8b)². Значит, выражение имеет вид (7a)² − (8b)². Это соответствует разности квадратов p² − q².
2. Применяем формулу p² − q² = (p − q)(p + q). Вместо p подставляем 7a, вместо q — 8b. Получаем (7a − 8b)(7a + 8b).
3. Проверяем раскрытием скобок: средние произведения −56ab и +56ab сокращаются, остаются 49a² − 64b². Ответ: (7a − 8b)(7a + 8b).

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что все действия выполняются только слева направо. Так поступают, если ориентируются лишь на расположение знаков и забывают о приоритете скобок, степеней, умножения и деления. Проверяйте каждый знак действия по правилу порядка вычислений, а в сомнительном месте мысленно расставляйте шаги.

Ошибка: раскрывать скобки, умножая внешний множитель только на первое слагаемое. Её допускают, потому что второй член внутри скобок легко пропустить. В записи a(b + c) нужно получить ab + ac; для проверки снова вынесите общий множитель и убедитесь, что исходная скобка восстановилась.

Ошибка: заменять квадрат суммы выражением a² + b². При возведении суммы в квадрат умножается вся скобка сама на себя, и возникают два произведения ab. Запомните средний член 2ab и проверьте формулу раскрытием (a + b)(a + b).

Ошибка: считать разность квадратов квадратом разности. Записи a² − b² и (a − b)² выглядят похоже, но вторая раскрывается как a² − 2ab + b². Чтобы не перепутать их, сравните число слагаемых и проверьте предполагаемое преобразование раскрытием скобок.

Связь с другими темами

Справочные правила опираются на арифметические действия, порядок действий и свойства сложения и умножения. Без этих знаний трудно понять, почему преобразование сохраняет значение или в какой последовательности вычислять результат. Поэтому при затруднении полезно сначала разобрать обычный числовой пример, а затем применить тот же принцип к буквам.

Формулы сокращённого умножения используются при преобразовании многочленов и разложении на множители. Они также помогают решать уравнения: выражение можно упростить, разложить на произведение или привести к удобному виду. Умение узнавать формулу сокращает вычисления и делает структуру записи яснее.

Что запомнить

• Скобки задают порядок действий.
• При подстановке числа вместо буквы сохраняют структуру выражения.
• Распределительное свойство позволяет раскрывать скобки и выносить общий множитель.
• (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (a − b)² = a² − 2ab + b².
• a² − b² = (a − b)(a + b).