1.1.3. Свойства и признаки. Критерии

Определения и обозначения

Свойство математического объекта — утверждение, которое верно для всех объектов данного вида при оговорённых условиях. Например, равенство сохраняется при прибавлении одного и того же числа к обеим его частям. Свойства нужны, чтобы описывать объекты и обосновывать преобразования.

Признак — условие, по которому можно распознать, обладает ли объект нужным свойством. Иными словами, свойство говорит, что верно для объекта, а признак помогает это установить. Поэтому признаки особенно полезны при проверке и классификации объектов.

Необходимое условие — условие, которое должно выполняться, если выполняется рассматриваемое утверждение. Если обозначить утверждение буквой A, а условие — буквой B, то направление рассуждения записывают так: A ⇒ B. Это условие сужает круг возможных случаев, но ещё не обязательно доказывает A.

Критерий — условие, которое является одновременно необходимым и достаточным для рассматриваемого утверждения. Тогда выполняются оба перехода: A ⇒ B и B ⇒ A. Такая связь записывается как A ⇔ B и означает равносильность утверждения и условия.

Как это устроено

Свойство и признак связаны с одним и тем же объектом, но выполняют разные роли. Когда мы знаем, что объект относится к некоторому виду, свойство описывает его общую особенность. Признак действует в обратной практической ситуации: по обнаруженному условию мы решаем, есть ли у объекта нужное свойство. Поэтому нельзя называть свойство и признак полностью одинаковыми понятиями.

Из истинного утверждения можно вывести необходимое условие. Например, если число делится на 10, оно обязательно делится на 5, потому что 10 = 2 · 5 и в разложении числа на множители уже содержится множитель 5. Но из делимости на 5 нельзя сразу заключить делимость на 10: число 15 является контрпримером. Обратный переход допустим только после отдельного доказательства.

Достаточное условие работает в направлении к утверждению. Если условие выполнено, оно гарантирует, что нужный вывод верен. Так, делимость числа на 10 достаточна для его делимости на 5. Достаточное условие может быть более строгим, чем требуется: некоторые числа делятся на 5, но не проходят условие делимости на 10.

Критерий объединяет необходимость и достаточность. Сначала доказывают: если утверждение верно, то условие выполнено; затем — если условие выполнено, то верно утверждение. Получается равносильность A ⇔ B, поэтому каждое из двух утверждений можно заменить другим. В задаче достаточно проверить условие критерия, сформулировать нужный вывод и сослаться на соответствующий критерий.

Свойство, признак и условие: роль в рассуждении

При чтении таблицы сначала определите, что именно дано: свойство, условие или готовая равносильность. Затем установите направление рассуждения и проверьте, достаточно ли этого для вывода. Если указаны оба направления, перед вами критерий.

Такая схема помогает не путать фразы «из этого следует» и «это следует из». Стрелка A ⇒ B означает, что A — достаточное условие для B, а B — необходимое условие для A.

Разбор задач

Задача 1

Условие: дано равенство a = b. Нужно указать свойство равенства, позволяющее заключить, что a + c = b + c.

1. Сравним исходное равенство с получаемым: к левой и правой частям добавляется одно и то же число c.
2. Используем свойство равенства: если a = b, то a + c = b + c для любого допустимого c.
3. Подставим данное a = b в это общее утверждение и получим требуемое равенство.

Ответ: используется свойство прибавления одного и того же числа к обеим частям равенства.

Задача 2

Условие: проверить, является ли условие «число делится на 10» необходимым и достаточным для того, чтобы оно делилось на 5.

1. Проверим достаточность: если число делится на 10, оно делится и на 5, так как 10 кратно 5.
2. Проверим необходимость: возьмём число 15. Оно делится на 5, но не делится на 10.
3. Обратное направление не выполняется, поэтому условие не является необходимым.

Ответ: делимость на 10 — достаточное, но не необходимое условие делимости на 5; критерием она не является.

Задача 3

Условие: установить, является ли условие «произведение двух целых чисел равно нулю» критерием того, что хотя бы один множитель равен нулю.

1. В одну сторону: если a = 0 или b = 0, то ab = 0, поскольку произведение с нулевым множителем равно нулю.
2. В другую сторону используем свойство целых чисел: если ab = 0, то a = 0 или b = 0.
3. Оба направления доказаны, значит, условия равносильны и образуют критерий.

Ответ: да, условие ab = 0 является критерием того, что a = 0 или b = 0.

Типичные ошибки

Считать любое необходимое условие достаточным. Ученик видит, что A влечёт B, и автоматически делает вывод B ⇒ A. Чтобы проверить себя, найдите пример, где B выполняется, а A нет.

Называть условие критерием после проверки одного направления. Одной импликации недостаточно для равносильности. Запишите обе стрелки и убедитесь, что доказаны A ⇒ B и B ⇒ A.

Подменять доказательство примерами. Несколько подходящих чисел показывают только отдельные случаи и не подтверждают утверждение для всех объектов. Ищите общее рассуждение, опирающееся на определение или свойство.

Забывать оговорённые условия применения свойства. Формула может работать только при допустимых значениях переменных или для объектов определённого вида. Перед преобразованием проверьте область допустимых значений и все условия задачи.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужно уметь различать математическое утверждение, условие и вывод, а также читать импликацию и равносильность. Эти обозначения показывают направление рассуждения и помогают не менять местами причину и следствие.

Необходимые и достаточные условия постоянно встречаются при доказательстве тождеств, решении уравнений и неравенств. Например, после преобразования уравнения нужно проверить, не появились ли посторонние корни и не были ли потеряны допустимые значения.

Критерии лежат в основе признаков делимости, свойств равенства и других математических объектов. Умение видеть два направления делает доказательства короче и точнее.

Что запомнить

• Свойство описывает объект при заданных условиях.
• Признак помогает распознать объект по условию.
• Необходимость означает: без условия утверждение невозможно.
• Достаточность означает: условие гарантирует утверждение.
• Критерий — необходимое и достаточное условие.
• Чтобы доказать критерий, нужно обосновать оба направления.