"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Перестановкой называют способ расположить все элементы набора в определённом порядке. Например, три разные буквы можно поставить в ряд по-разному, хотя сами буквы при этом не меняются. Перестановки нужны, чтобы считать варианты упорядочивания предметов, людей или цифр. Если элементов n, число их перестановок равно Pₙ = n!, где n! — произведение натуральных чисел от n до 1. Главное — использовать все элементы и различать порядки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перестановка — расположение всех элементов данного конечного множества в определённом порядке. Например, для букв А, Б и В расположения АБВ и ВБА — разные перестановки. Сами элементы не заменяют и не убирают, меняется только их порядок. Это понятие нужно, когда требуется перечислить или посчитать способы расставить весь набор.
Число перестановок — количество различных способов упорядочить все n элементов; его обозначают Pₙ. Индекс n показывает, сколько элементов в наборе. Например, P₃ обозначает число способов расположить три элемента. Это обозначение позволяет коротко записывать ответ и связывать его с формулой.
Факториал натурального числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n; его обозначают n!. Например, 4! = 1·2·3·4. В записи факториала восклицательный знак означает математическое действие, а не эмоцию. Факториал удобен, потому что коротко записывает произведение, возникающее при подсчёте перестановок.
Пусть нужно расставить n различных элементов по местам. На первое место подходит любой из них, значит, есть n вариантов. После выбора одного элемента на второе место остаётся n−1 вариант, потому что уже использованный элемент повторно поставить нельзя. На каждом следующем месте выбор уменьшается ещё на единицу, пока для последнего элемента не останется один вариант.
Чтобы посчитать все возможные последовательности таких выборов, применяют правило умножения: число способов выполнить несколько последовательных шагов равно произведению числа вариантов на каждом шаге. Поэтому количество расположений записывается как n·(n−1)·…·2·1. Именно такое произведение называется факториалом n и обозначается n!. Множитель 1 тоже входит в запись, хотя он не меняет значение произведения.
Итак, число перестановок n различных элементов равно Pₙ = n!. Например, возьмём три элемента А, Б и В: на первое место есть 3 варианта, на второе — 2, на последнее — 1. Получаем P₃ = 3·2·1 = 6; это расположения АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ и ВБА. Проверка показывает, что формула считает все порядки без повторений.
Перестановка отличается от выбора нескольких элементов: в неё должны войти все заданные элементы. Кроме того, порядок имеет значение: АБВ и БВА считаются разными, даже если состав у них одинаковый. Если требуется выбрать только двух учеников из пяти, формула P₅ = 5! не подходит, потому что она упорядочивает все пять элементов. Перед вычислением полезно уточнить, что именно нужно считать: выбор или расположение.
Для пустого набора принимают 0! = 1. Это согласуется с тем, что есть один способ расположить ноль элементов: не выполнять никаких действий. Такое соглашение также помогает не нарушать общие правила вычислений с факториалами. В простых задачах этот случай встречается редко, но он важен для общей формулы.
| Число элементов n | Вид произведения | Число перестановок Pₙ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2·1 | 2 |
| 3 | 3·2·1 | 6 |
| 4 | 4·3·2·1 | 24 |
| Общий случай | n·(n−1)·…·2·1 | n! |
Найди строку с нужным числом элементов и прочитай произведение в среднем столбце. Если элементов больше четырёх, используй общий случай и вычисли факториал. Таблица также помогает заметить, что добавление нового элемента умножает число перестановок на количество элементов в новом наборе.
Задача. Сколькими способами можно расставить на полке 4 разные книги? Нужно расположить все книги, а перестановка книг на разных местах даёт другой порядок. Поэтому задача сводится к числу перестановок четырёх элементов.
Обозначим четыре книги разными элементами и посчитаем варианты по местам. Для первой книги есть 4 свободных места, точнее, 4 выбора позиции. После её размещения для второй остаётся 3 варианта, затем 2 и 1. Перемножаем эти количества.
Получаем P₄ = 4! = 4·3·2·1 = 24. Каждая последовательность выбора задаёт отдельное расположение книг на полке. Значит, одинаковый набор книг учтён, но каждый порядок посчитан отдельно.
Ответ: 24 способа.
Задача. Сколькими способами можно рассадить в ряд 5 учеников, если два определённых ученика должны сидеть рядом? Считать их по отдельности неудобно, потому что условие связывает их места. Объединим этих двоих в один блок: теперь нужно расставить блок и ещё трёх учеников, всего четыре объекта.
Четыре объекта можно упорядочить 4! = 24 способами. Но каждый ученик внутри блока может сидеть слева или справа, то есть у блока есть 2 порядка. Умножаем 24 на 2, поскольку каждый порядок объектов сочетается с обоими порядками внутри блока.
Вычисляем 4!·2 = 24·2 = 48. Проверка условия проста: в каждом полученном расположении два выбранных ученика занимают соседние места. Если бы внутри блока был учтён только один порядок, половина вариантов потерялась бы.
Ответ: 48 способов.
Задача. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 без повторений? Сначала посчитаем расположения пяти цифр из шести, не ограничивая первую позицию. Затем исключим записи, начинающиеся с нуля, потому что они не являются пятизначными числами.
Для пяти мест выбираем и упорядочиваем пять цифр из шести: 6·5·4·3·2 = 720. В каждом выборе порядок важен, поскольку разные порядки цифр дают разные записи. На этом шаге допустим и ноль в начале, поэтому результат пока включает лишние варианты.
Если первым стоит 0, оставшиеся четыре места заполняются четырьмя разными цифрами из пяти ненулевых цифр. Их можно расположить 5·4·3·2 = 120 способами. Вычитаем такие записи: 720−120 = 600.
Ответ: 600 чисел.
Считать только выбор элементов. Ошибка возникает, когда забывают, что перестановки отличаются порядком: АБ и БА — два результата. Чтобы проверить себя, поменяй местами два элемента и спроси, изменился ли ответ задачи. Если расположения различаются, их нужно считать отдельно.
Применять n! к расположению части элементов. Это случается, если видят слово «расположить» и сразу используют факториал, не проверив, все ли элементы участвуют. Формула Pₙ = n! относится к упорядочиванию всего набора из n элементов. Проверь условие: если выбирается или размещается только часть набора, одного этого правила недостаточно.
Пропускать множитель в факториале. При вычислении могут забыть множитель 1 или одно из чисел между n и 1, особенно в длинном произведении. Запись n! всегда содержит подряд все натуральные множители от n до 1. Для проверки перепиши произведение по убыванию и сравни соседние числа: разность между ними должна быть равна 1.
Оставлять ноль в начале числа. Такой вариант включают в подсчёт, если воспринимают запись цифр как обычную перестановку и не проверяют длину числа. Но запись с начальным нулём не является числом нужной длины, например 01234 — не пятизначное число. Проверь первую цифру и вычти все варианты, где она равна нулю.
Для подсчёта перестановок нужно знать правило умножения: оно помогает объединить число вариантов на каждом месте в одно произведение. Также пригодится умение умножать натуральные числа и находить факториал. Если забыть, почему перемножаются варианты, формула Pₙ = n! может показаться просто правилом без объяснения.
Перестановки используются в комбинаторном подсчёте — разделе математики о подсчёте вариантов. Они помогают решать задачи об упорядочивании предметов и людей, а также о составлении чисел из цифр. В каждом случае нужно проверить, используются ли все элементы, важен ли порядок и есть ли ограничения, например запрет нуля в начале числа.
Чем перестановка отличается от сочетания?
В перестановке упорядочивают все элементы набора, а в сочетании выбирают только часть элементов и не учитывают порядок выбора. Например, порядок букв АБ и БА задаёт две перестановки, но при выборе пары букв это одна и та же пара.
Почему при перестановке нужно учитывать порядок элементов?
Потому что перестановка описывает не только состав набора, но и место каждого элемента. Если поменять местами два элемента, получится другое расположение.
Как быстро вычислить факториал числа?
Умножь число на все натуральные числа меньше него вплоть до 1. Например, 5! = 5·4·3·2·1 = 120; удобно считать последовательно или группировать множители.
Почему число перестановок равно n!, а не n?
Число n — это количество вариантов только для первого места. Для следующих мест остаётся всё меньше элементов, поэтому по правилу умножения получается n·(n−1)·…·1 = n!.
Можно ли считать перестановкой расположение, в котором ноль стоит первым?
Расположение цифр с нулём первым можно считать перестановкой самих цифр. Но оно не образует число нужной длины: начальный ноль не увеличивает количество цифр числа, поэтому в задачах на числа такие варианты исключают.
6.1.3. Перестановки. Формула числа перестановок
