§ 2. Элементы статистики и теории вероятностей

Определения и обозначения

Статистическая совокупность — все объекты, которые интересуют исследователя, а выборка — часть этих объектов, выбранная для наблюдения. Например, чтобы узнать мнение всех учеников школы, можно опросить только некоторых из них. Исследовать выборку часто проще, быстрее и дешевле, но она должна достаточно хорошо представлять всю совокупность.

Частота значения — число раз, которое это значение встретилось в данных; относительная частота — его доля от общего числа наблюдений. Если значение встретилось 6 раз в выборке из 20 наблюдений, его частота равна 6, а относительная частота — 6 / 20 = 0,3, или 30%. Эти показатели помогают понять, какие результаты встречаются чаще, и сопоставлять выборки разного размера.

Вариационный ряд — все результаты наблюдений, записанные по возрастанию с сохранением повторений. Например, данные 3, 1, 3, 2 превращаются в ряд 1, 2, 3, 3. Такая запись нужна, чтобы было легче находить середину ряда, крайние значения и частоты.

Размах — разность наибольшего и наименьшего значений, показывающая ширину разброса данных. Мода — значение с наибольшей частотой, то есть самое часто встречающееся. Медиана — центральное значение упорядоченного ряда или среднее двух центральных значений; она описывает середину данных.

Как это устроено

Чтобы составить вариационный ряд, сравнивают результаты и располагают их от меньшего к большему, не удаляя повторы. Повторы важны: по ним можно определить, какие значения встречались чаще. Упорядочивание также позволяет сразу увидеть крайние значения и найти середину ряда. Поэтому перед вычислением большинства характеристик удобно сначала записать данные в таком виде.

Размах находят по двум краям вариационного ряда: из последнего значения вычитают первое. Он показывает, насколько далеко друг от друга оказались крайние результаты, но не описывает распределение остальных значений. Для поиска моды подсчитывают, сколько раз встречается каждое значение, и выбирают значение с наибольшим числом повторений. Мод может быть несколько, если разные значения встречаются одинаково часто и чаще остальных; если все частоты равны, выделенной моды нет.

Медиану находят только после упорядочивания данных, иначе нельзя определить центральное значение по величине. Если наблюдений нечётное число, из ряда можно выбрать один элемент ровно посередине: слева и справа от него будет одинаковое количество значений. Если наблюдений чётное число, между двумя центральными элементами нет одного среднего места, поэтому медианой считают их среднее арифметическое. Так для любого размера выборки получается одно число, характеризующее её середину.

Частота — целое число наблюдений, а относительная частота получается делением этой частоты на общий объём выборки. Например, 8 ответов из 40 дают долю 8 / 40 = 0,2, то есть 20%. При сравнении двух опросов, в которых участвовало разное число людей, сами частоты могут вводить в заблуждение: большее число ответов может объясняться просто большей выборкой. Доли позволяют сравнить, какую часть участников составляет каждый ответ.

Размах, мода и медиана сжимают большой набор данных до нескольких понятных чисел, а диаграмма показывает частоты наглядно. Вместе они помогают заметить разброс, типичный частый результат и положение середины. Однако ни числа, ни диаграмма не объясняют, кого именно опрашивали, как проводили измерения и не было ли ошибок. Поэтому выводы зависят не только от подсчётов, но и от того, как собраны данные.

Характеристики набора данных

Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, что именно требуется найти, а затем выполни указанные действия. Для медианы проверь, чётное или нечётное число данных. Частоту и относительную частоту не путай: это количество и доля.

Разбор задач

Вариационный ряд, размах и мода

Записаны результаты пяти измерений: 4, 2, 5, 2, 3. Составьте вариационный ряд и найдите размах и моду. Сначала упорядочим все числа, сохранив два появления числа 2. Затем сравним крайние значения и подсчитаем повторы, чтобы получить нужные характеристики.

1. Располагаем числа по возрастанию: 2, 2, 3, 4, 5.
2. Вычитаем наименьшее значение из наибольшего: 5 − 2 = 3. Это размах.
3. Подсчитываем повторы: число 2 встретилось дважды, остальные — по одному разу. Значит, мода равна 2.

Ответ: вариационный ряд — 2, 2, 3, 4, 5; размах равен 3; мода равна 2. Проверка: крайние числа ряда — 2 и 5, а больше всего повторений у числа 2. Повторы при записи ряда и подсчёте моды не пропускают.

Медиана чётного ряда

В списке из восьми чисел 3, 5, 4, 5, 7, 2, 6, 4 найдите медиану. Так как ряд не упорядочен, нельзя выбирать центральные числа прямо из исходного списка. Сначала расположим все числа по возрастанию, а затем найдём два элемента в середине.

1. Записываем числа по возрастанию: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7.
2. При восьми числах центральные места занимают четвёртый и пятый элементы: 4 и 5.
3. Находим их среднее арифметическое: (4 + 5) / 2 = 4,5.

Ответ: медиана равна 4,5. Она не обязана совпадать с одним из результатов наблюдений: здесь её значение находится между двумя центральными числами. Если выбрать только 4 или только 5, середина ряда будет определена неверно.

Частота и относительная частота

В опросе участвовали 40 учеников, 14 из них выбрали кружок робототехники. Найдите частоту и относительную частоту этого ответа и выразите её в процентах. Число 14 уже показывает, сколько учеников дали такой ответ, то есть частоту. Чтобы получить долю, сравним это число с общим количеством участников.

1. Частота ответа равна числу выбравших кружок: 14.
2. Делим частоту на объём выборки: 14 / 40 = 0,35.
3. Переводим долю в проценты: 0,35 · 100% = 35%.

Ответ: частота равна 14, относительная частота — 0,35, или 35%. Проверка: доля меньше 1, потому что кружок выбрали не все участники. Такое представление удобно для сравнения с другим опросом, даже если в нём участвовало не 40 учеников.

Типичные ошибки

Размах считают суммой крайнего и наименьшего значений. Так могут сделать, потому что оба числа нужно взять из концов упорядоченного ряда. Но размах показывает расстояние между ними, поэтому надо найти разность: наибольшее значение минус наименьшее. Проверь себя: если оба крайних значения одинаковы, размах должен быть равен нулю.

Моду выбирают без подсчёта повторений или принимают за неё самое большое число. Ошибка возникает, когда слово «наибольшая» связывают со значением числа, а не с его частотой. Мода — это значение, которое встречается чаще остальных, поэтому сначала подсчитай повторы. Проверка: самое большое число может встретиться всего один раз и модой не быть.

При чётном числе наблюдений медианой считают одно из двух центральных значений. Так происходит, если забыть, что в середине чётного ряда находятся два элемента. Нужно найти их среднее арифметическое, а не выбирать один из них. Пересчитай элементы ряда: по обе стороны от промежутка между центральными числами должно быть поровну наблюдений.

Частоту путают с относительной частотой. Число ответов принимают за долю или, наоборот, записывают долю как количество наблюдений. Частота — количество, относительная частота — результат деления количества на объём выборки. Проверь единицы: частота выражается числом наблюдений, а относительную частоту можно записать дробью, десятичным числом или процентом.

Связь с другими темами

Для работы с данными нужно уметь сравнивать и упорядочивать числа, находить среднее арифметическое, делить целые числа и дроби. Эти навыки используются, когда вычисляют медиану и относительную частоту. Статистические характеристики и доли помогают анализировать опросы, измерения и результаты экспериментов. Они пригодятся при чтении диаграмм, а также подготовят к темам о случайных событиях и вероятности.

Что запомнить

• Вариационный ряд — данные, расположенные по возрастанию.
• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Мода — значение с наибольшей частотой.
• Медиана определяется по середине упорядоченного ряда.
• Относительная частота равна частоте, делённой на общее число наблюдений.
• Сумма относительных частот всех возможных значений равна 1.