"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Случайный опыт имеет несколько заранее известных исходов, но какой именно произойдёт, предсказать нельзя. Событием называют утверждение о результате опыта, а частотой — число опытов, в которых событие произошло. Относительная частота показывает долю таких опытов среди всех проведённых: её находят делением частоты на общее число опытов. Эти показатели помогают описывать результаты наблюдений и подводят к понятию вероятности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный опыт — действие с заранее известными возможными исходами, результат которого заранее нельзя точно предсказать. Например, при броске кости известны числа от 1 до 6, но неизвестно, какое выпадет. Это понятие нужно, чтобы отделить реальные наблюдения от полностью предсказуемых действий.
Случайное событие — утверждение о результате случайного опыта, которое может произойти или не произойти. Например, событие «выпало чётное число» включает исходы 2, 4 и 6. События позволяют объединять исходы по интересующему нас признаку.
Частота события — число опытов, в которых данное событие произошло. Если при 20 бросках монеты герб появился 11 раз, частота события «выпал герб» равна 11. Она показывает фактическое количество наступлений события и всегда является целым неотрицательным числом.
Относительная частота события — отношение его частоты к общему числу проведённых опытов. При 11 появлениях герба в 20 бросках она равна 11/20 = 0,55. Этот показатель показывает долю опытов с событием и позволяет сравнивать серии разного размера.
Случайный опыт допускает разные исходы, потому что условия его проведения не определяют единственный результат. При броске монеты заранее известны герб и решка, но движение монеты зависит от силы броска, положения и других обстоятельств. Поэтому набор исходов известен, а конкретный исход остаётся неопределённым.
Из исходов опыта составляют событие, выбирая нужный признак или несколько подходящих результатов. В броске кости событие «выпало число больше 4» состоит из исходов 5 и 6. Событие называют достоверным, если оно происходит при любом исходе, и невозможным, если не происходит ни при одном; например, «выпало число от 1 до 6» достоверно, а «выпало 8» невозможно.
Чтобы найти частоту, просматривают результаты серии опытов и считают, сколько раз встретилось нужное событие. Не имеет значения, в каком порядке происходили исходы: учитывается только их количество. Частота целая и неотрицательная, потому что нельзя провести или засчитать дробную часть опыта.
Относительную частоту находят делением частоты события на общее число опытов: относительная частота = частота / число опытов. Частота не может быть больше общего числа опытов, поэтому результат не меньше 0 и не больше 1. Нулю соответствует событие, которое не произошло, а единице — событие, произошедшее во всех опытах.
При увеличении числа опытов отдельные случайные отклонения обычно меньше влияют на долю события. Например, в короткой серии герб может выпасть заметно чаще решки, но в длинной серии соотношение часто становится устойчивее. Поэтому большая серия даёт более показательное наблюдаемое значение относительной частоты, хотя полной гарантии точного совпадения с теоретической вероятностью нет.
В таблице сначала определите, о каком объекте идёт речь, а затем сравните его с результатами опыта. Для частоты и относительной частоты особенно важно знать не только возможные исходы, но и фактические данные серии.
| Объект | Как определить | Пример при броске игральной кости |
|---|---|---|
| Случайное событие | Может произойти или не произойти в опыте | Выпало число 6 |
| Достоверное событие | Происходит при любом возможном исходе | Выпало число от 1 до 6 |
| Невозможное событие | Не происходит ни при одном возможном исходе | Выпало число 7 |
| Частота события | Число опытов, в которых событие произошло | 6 выпала 5 раз в 30 бросках |
| Относительная частота события | Частота, делённая на общее число опытов | 5/30 = 1/6 |
Задача 1. При 25 бросках монеты герб выпал 13 раз. Нужно найти частоту события и его относительную частоту. Сначала отделим число наступлений события от общего количества бросков.
Ответ: частота равна 13, относительная частота равна 0,52, или 52%.
Задача 2. В 40 бросках кости числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 выпали соответственно 5, 8, 7, 6, 9 и 5 раз. Требуется найти относительную частоту события «выпало число, большее 4» и проверить сумму частот. Событие объединяет два исхода: 5 и 6.
Ответ: относительная частота равна 0,35, или 35%; сумма частот всех исходов равна 40.
Задача 3. В 120 испытаниях событие произошло 42 раза. После добавления новых испытаний всего стало 200, а относительная частота оказалась равной 0,25. Нужно узнать, сколько раз событие произошло в добавленной части серии.
Ответ: в добавленной части серии событие произошло 8 раз.
Частоту иногда путают с относительной частотой. Частота — это число наступлений события, а относительная частота — дробь или отношение этого числа к общему количеству опытов. Для проверки подпишите единицы смысла: если получилось просто количество случаев, это частота, а если доля от всей серии — относительная частота.
Некоторые делят общее число опытов на частоту, хотя нужно выполнять обратное действие. Правильная формула выглядит так: относительная частота = частота / число опытов. Проверьте результат: доля не должна быть больше 1.
Ошибка возникает и тогда, когда частоту считают по числу возможных исходов, а не по наблюдаемым результатам. Возможные исходы говорят, что в принципе может произойти, но частота показывает, что действительно произошло в данной серии. Чтобы не ошибиться, пересчитайте результаты каждого опыта.
При нескольких взаимоисключающих исходах забывают проверить общую сумму частот. Если каждый опыт даёт ровно один из этих исходов, сумма их частот обязана равняться числу опытов. Несовпадение указывает на пропуск, двойной подсчёт или ошибку в вычислениях.
Для работы с частотой нужны действия с натуральными числами, дробями, отношениями и процентами. Например, относительную частоту можно записать и десятичной дробью, и процентом. Эти способы записи описывают одну и ту же долю.
Тема опирается на понятие множества исходов, а также на различие между достоверным и невозможным событием. Понимание этих объектов помогает правильно объединять исходы в событие. Без этого легко посчитать не те результаты.
Позже частота и относительная частота понадобятся при изучении вероятности и статистики. По результатам экспериментов можно оценивать, как часто встречается признак, и сравнивать разные серии наблюдений. Такие подсчёты применяются и при обработке практических данных.
Почему событие называют случайным, если известны все возможные исходы?
Известен набор возможных результатов, но заранее неизвестно, какой из них появится в конкретном опыте. Например, при броске кости возможны числа от 1 до 6, однако результат отдельного броска предсказать точно нельзя.
Чем частота события отличается от его вероятности?
Частота — фактическое число наступлений события в проведённых опытах. Вероятность — числовая оценка возможности события, которую можно определить теоретически или приблизительно оценить по относительной частоте.
Может ли частота быть дробным числом?
Нет, частота выражается целым неотрицательным числом, потому что считают целое число опытов. Дробным может быть результат деления частоты на общее число опытов, то есть относительная частота.
Почему относительная частота не может быть больше единицы?
Число наступлений события не может превышать число всех проведённых опытов. Поэтому в отношении «частота : общее число опытов» числитель не больше знаменателя, и значение лежит от 0 до 1.
Зачем проводить большое число опытов?
Большая серия уменьшает влияние случайных отклонений отдельных результатов. Поэтому относительная частота обычно точнее показывает, как часто наблюдается событие.
6.2.2. Случайные события и их частота
