6.2.3. Случайные события и их вероятность

Определения и обозначения

Случайное событие — это событие, которое при проведении опыта может произойти, а может и не произойти. Например, при броске кубика событие «выпало число 6» случайное: заранее неизвестно, какой результат получится. Это понятие помогает описывать не только результат опыта, но и то, насколько вероятен нужный нам результат.

Достоверное событие — событие, которое обязательно происходит при данном опыте. Например, при броске обычного кубика обязательно выпадет число от 1 до 6. Такое понятие позволяет узнавать случаи, когда неопределённости нет и вероятность результата равна единице.

Невозможное событие — событие, которое при данном опыте произойти не может. При броске обычного кубика невозможно получить число 8. Это понятие нужно, чтобы отличать отсутствие шанса от малого шанса: невозможное событие не наступает ни при каком исходе опыта.

Вероятность случайного события — числовая мера возможности его наступления. Вероятность события A обозначают P(A), где P — первая буква слова «вероятность», а A — название события. Число P(A) помогает сравнивать шансы разных событий: чем оно ближе к 1, тем событие вероятнее.

Как это устроено

Опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, например бросок кубика. Каждый возможный результат называют исходом опыта. Событие связывают с тем множеством исходов, при которых оно происходит: для события «выпало чётное число» это исходы 2, 4 и 6. Такое описание нужно, чтобы ясно отделить подходящие результаты от неподходящих.

Если все исходы равновозможны, то ни один из них не имеет преимущества перед другим. Пусть всего есть n исходов, а событие A наступает в m из них. Тогда доля подходящих исходов среди всех равна m/n, поэтому вероятность находят по формуле P(A) = m/n. Именно равновозможность позволяет считать исходы одинаковыми по вкладу в шанс события.

Например, при броске кубика исходы — 1, 2, 3, 4, 5 и 6, и каждый возможен с одинаковым шансом. Чтобы посчитать их без пропусков и повторов, удобно записать числа по порядку один раз. Затем отмечают среди них те, которые удовлетворяют условию события, и считают их; такой способ делает оба числа в формуле проверяемыми.

В формуле m — число благоприятных исходов, а n — общее число исходов, поэтому 0 ≤ m ≤ n. При делении на положительное n получаем 0 ≤ P(A) ≤ 1. Если m = 0, подходящих исходов нет и событие невозможно; если m = n, подходят все исходы и событие достоверно.

Формулу P(A) = m/n применяют, только когда исходов конечное число и они равновозможны. Если шансы исходов отличаются, подсчёт их количества не показывает вероятность: например, один исход может случаться чаще другого. В таком случае способ оценки вероятности должен учитывать различие шансов, а простое отношение m/n использовать нельзя.

Виды событий и границы их вероятностей

Пользуйтесь таблицей после того, как определили, какие результаты опыта относятся к событию. Значение 0 указывает на невозможность, а 1 — на обязательное наступление. Для случайного события вероятность может быть между этими границами.

Разбор задач

Кубик: число больше 4

При броске правильного кубика найти вероятность выпадения числа, большего 4. Кубик правильный, поэтому все шесть результатов равновозможны. Нужно выделить среди них числа, которые строго больше 4.

1. Запишем все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Итого n = 6.
2. Условию «больше 4» подходят 5 и 6, значит, m = 2.
3. Подставим числа в формулу: P(A) = m/n = 2/6 = 1/3.

Ответ: вероятность равна 1/3. Число 4 не включаем: оно равно 4, а не больше 4.

Шары двух цветов

В коробке 5 красных и 3 синих одинаковых по размеру шара. Найти вероятность вынуть красный шар. Считаем исходом выбор конкретного шара, а не только цвета: каждый шар имеет одинаковый шанс оказаться вынутым. Поэтому отдельные шары одного цвета тоже учитываются по одному.

1. Всего шаров n = 5 + 3 = 8.
2. Красными являются пять отдельных шаров, значит, событию благоприятствуют m = 5 исходов.
3. Вычислим вероятность: P(A) = 5/8.

Ответ: вероятность вынуть красный шар равна 5/8. Если посчитать только два цвета как два исхода, равновозможность пропадёт: вероятность выбрать красный цвет не равна вероятности выбрать синий, потому что красных шаров больше.

Двузначное число из карточек

Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4 составляют двузначное число без повторения цифр. Найти вероятность получить число, делящееся на 3. Исходом здесь является готовое двузначное число; каждую цифру можно поставить в десятки или единицы, но одну и ту же карточку дважды взять нельзя.

1. Систематически переберём варианты: с первой цифрой 1 получаем 12, 13, 14; с 2 — 21, 23, 24; с 3 — 31, 32, 34; с 4 — 41, 42, 43. Всего n = 12 исходов.
2. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Условию подходят 12, 21, 24, 42, значит, m = 4.
3. Проверим подсчёт: у каждой из четырёх цифр есть три допустимых варианта второй цифры, всего 4 · 3 = 12. Все числа равновозможны, поскольку карточки вытягиваются случайно и порядок цифр учитывается.
4. Найдём вероятность: P(A) = 4/12 = 1/3.

Ответ: 1/3. Важно учитывать порядок цифр: числа 12 и 21 — разные исходы, хотя оба делятся на 3.

Типичные ошибки

Применять P(A) = m/n, не проверив равновозможность исходов, — ошибка: при неодинаковых шансах простое отношение количества вариантов не даёт вероятность. Её допускают, когда видят конечный список и сразу начинают считать. Проверьте, одинаков ли шанс каждого исхода; если нет, формулу напрямую использовать нельзя.

Иногда к благоприятным относят исходы, при которых событие не происходит, или включают лишние варианты. Причина часто в том, что условие не перевели в точное правило, например «больше 4» ошибочно понимают как «не меньше 4». Запишите событие словами и проверьте каждый исход отдельно.

Разные исходы могут давать один и тот же результат события, но это не значит, что их можно объединить при подсчёте. Например, в коробке несколько красных шаров: исходами являются отдельные шары, а не просто два цвета. Уточните, что именно случайно выбирают, и только потом составляйте список исходов.

Вероятность меньше 0 или больше 1 невозможна, поскольку числитель не может быть отрицательным или превышать общее число исходов. Такая ошибка обычно возникает при пропущенных вариантах, повторах или неверном подсчёте благоприятных исходов. Проверьте, что 0 ≤ m ≤ n, и пересчитайте список.

Связь с другими темами

Чтобы находить вероятность, нужно уметь считать варианты и систематически перечислять исходы простого опыта. Навыки комбинаторики помогают организовать подсчёт, особенно если исходов много и их легко пропустить или повторить. Вероятности используют дальше для оценки шансов в задачах комбинаторики и статистики, а также в прикладных ситуациях. Например, они помогают сравнивать варианты и описывать, насколько часто можно ожидать определённый результат.

Что запомнить

• Случайное событие может наступить, а может не наступить.
• Достоверное событие происходит всегда; невозможное — никогда.
• Для равновозможных исходов P(A) = m/n.
• m — число благоприятных исходов, n — общее число исходов.
• Для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• Вероятность 0 соответствует невозможному событию, а 1 — достоверному.