§ 49. Случайные события и их вероятность

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, которое можно повторить при одинаковых условиях, но его результат заранее неизвестен. Например, при броске кубика нельзя заранее сказать, какая грань окажется сверху. Каждый конкретный результат называют исходом опыта. Эти понятия нужны, чтобы точно описывать ситуацию, а не полагаться на догадки о результате.

Случайное событие — утверждение об исходе опыта, которое при проведении опыта может произойти или не произойти. Например, событие «выпало чётное число» относится сразу к нескольким исходам броска кубика. Такое описание помогает объединять подходящие результаты по общему условию.

Событие называют достоверным, если оно наступает при каждом возможном исходе, и невозможным, если не наступает ни при одном. Событие случайное происходит лишь при некоторых исходах. Различие нужно, чтобы понимать, есть ли у события шанс произойти и можно ли ожидать его наверняка.

Вероятность события в классической модели — отношение числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов, если исходов конечное число и они равновозможны. Если событию A благоприятствуют m исходов из n, то P(A) = m/n. Эта величина показывает долю подходящих исходов и позволяет сравнивать шансы событий.

Как это устроено

Сначала для опыта составляют множество всех возможных исходов. Например, при броске кубика это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нельзя пропустить исход или добавить невозможный: иначе общее число вариантов и дальнейшие вероятности окажутся неверными. Удобно проверить список по самому устройству опыта: все ли результаты учтены и не повторяется ли один результат под разными названиями.

Событие задаётся условием на исходы. Чтобы найти благоприятствующие исходы, проверяют каждый результат: удовлетворяет ли он этому условию. Для события «выпало число больше 4» подходят 5 и 6, а 1, 2, 3 и 4 не подходят. Такой перебор помогает не включить лишний результат и не забыть подходящий.

Классическая формула работает потому, что при равновозможности каждый исход имеет одинаковый шанс. Тогда все исходы можно представить как равные части общего набора, а событие занимает столько частей, сколько исходов ему благоприятствует. Поэтому P(A) = m/n — это доля подходящих исходов. Если шансы исходов различаются, простое отношение их количества уже не даёт вероятность.

Равновозможность нужно обосновать устройством опыта. У правильной монеты орёл и решка имеют одинаковые шансы, а у правильного кубика одинаковы шансы выпадения каждой грани. Если же наудачу выбирают один из одинаковых на ощупь шаров, каждый отдельный шар имеет одинаковый шанс быть выбранным. Нельзя считать варианты равновозможными только потому, что их записали в список: например, у несимметричного предмета разные результаты могут иметь разные шансы.

У достоверного события благоприятны все n исходов, поэтому вероятность равна n/n = 1; у невозможного нет благоприятных исходов, поэтому вероятность равна 0/n = 0. Для любого события число благоприятных исходов не меньше нуля и не больше общего числа, значит, 0 ≤ P(A) ≤ 1. Эти границы помогают проверить вычисления: значение меньше нуля или больше единицы не может быть вероятностью.

Виды событий и их вероятности

Сначала определите, к какому виду относится событие, а затем используйте соответствующую строку таблицы. Для противоположных событий достаточно знать вероятность одного: вероятность другого равна 1 − P(A). Границы из таблицы также помогают проверить, не допущена ли ошибка в расчётах.

Разбор задач

Задача 1. При подбрасывании правильной монеты найти вероятность выпадения орла. Правильная монета даёт два равновозможных исхода: орёл и решка. Поскольку условию «выпал орёл» соответствует один из них, отношение благоприятных исходов к общему числу равно 1/2.

1. Запишем все исходы: орёл, решка. Их всего 2, и они равновозможны, так как монета правильная.
2. Выделим исходы, при которых происходит событие «выпал орёл»: такой исход один.
3. Применим формулу P(A) = m/n: P(орёл) = 1/2.

Ответ: 1/2.

Задача 2. При бросании правильного кубика найти вероятность выпадения числа, большего 4, и вероятность противоположного события. Возможные равновозможные исходы — числа от 1 до 6. Событие «число больше 4» включает два результата, 5 и 6, поэтому противоположному событию соответствуют оставшиеся четыре результата.

1. Всего исходов 6; благоприятствуют событию «число больше 4» исходы 5 и 6, то есть 2 исхода.
2. Находим вероятность: P(A) = 2/6 = 1/3.
3. Противоположное событие — выпадение числа, не большего 4. Его вероятность равна 1 − 1/3 = 2/3.

Ответ: вероятность числа больше 4 равна 1/3, противоположного события — 2/3.

Задача 3. В коробке 5 красных и 3 синих одинаковых на ощупь шара. Наудачу вынимают один шар. Найдём вероятность вынуть красный шар, а затем — шар не красного цвета. Каждый шар может быть выбран с одинаковым шансом, поэтому исходами считаем все 8 отдельных шаров, а не только два цвета.

1. Всего шаров 5 + 3 = 8. Красными являются 5 шаров, значит P(красный) = 5/8.
2. Не красными в этой коробке являются 3 синих шара, поэтому P(не красный) = 3/8.
3. Проверим ответ через противоположное событие: 1 − 5/8 = 3/8. Результат совпал, значит, подсчёт согласуется с правилом для противоположных событий.

Ответ: вероятность красного шара равна 5/8, шара не красного цвета — 3/8.

Типичные ошибки

Классическую формулу применяют, не проверив равновозможность исходов. Так делают, потому что принимают равное перечисление вариантов за равенство шансов, хотя список сам по себе этого не доказывает. Проверьте, одинаковы ли условия для исходов: правильная монета симметрична, а для несимметричного предмета шансы могут различаться.

К благоприятным относят исходы, которые не удовлетворяют условию, или забывают часть подходящих. Это часто случается, если условие прочитано невнимательно или варианты не проверены по одному. Для самопроверки выпишите событие словами и отметьте каждый исход: выполняется условие или нет.

Иногда число благоприятствующих исходов путают с общим числом исходов и составляют неверное отношение. Числитель должен показывать, скольким исходам соответствует событие, а знаменатель — сколько исходов есть всего. Проверьте, что числитель не больше знаменателя и что знаменатель совпадает с полным перечнем результатов.

Вероятность не может быть отрицательной или больше 1. Такая ошибка означает, что неверно посчитаны исходы или составлено отношение, не соответствующее формуле. Сверьте вычисление с границами 0 ≤ P(A) ≤ 1: любое значение за пределами отрезка требует пересмотра решения.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужно уметь перечислять варианты, считать элементы конечного множества и находить долю части от целого. Эти навыки помогают точно определить общее число исходов и число подходящих. Понятия исхода и события станут основой для изучения операций над событиями и правил вычисления вероятностей.

Вероятностные модели используют при анализе случайных явлений и статистических данных, когда результат нельзя предсказать наверняка. Они также помогают сравнивать варианты и принимать решения с учётом риска. Поэтому умение обосновывать исходы и рассчитывать вероятность пригодится не только в задачах по алгебре.

Что запомнить

• Событие связано с результатом случайного опыта.
• Благоприятствующие исходы — те, при которых событие происходит.
• Классическая формула применима при конечном числе равновозможных исходов.
• Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к числу всех исходов.
• Вероятность достоверного события равна 1, невозможного — 0.
• Для любого события вероятность принадлежит отрезку [0; 1].