§ 1. Четырёхугольники

Определения и обозначения

Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя сторонами, вершинами и углами. Например, ABCD обозначает фигуру с вершинами A, B, C и D. Это определение позволяет точно понять, о какой фигуре идёт речь, и отличить её от треугольника или пятиугольника.

Выпуклый четырёхугольник — фигура, которая целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую её сторону. Прямая, содержащая сторону, — это прямая, на которой расположен соответствующий отрезок. Такое условие помогает отличать выпуклую фигуру от невыпуклой и применять свойства, доказанные для выпуклого четырёхугольника.

Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. У четырёхугольника две диагонали: они соединяют пары вершин, между которыми нет стороны. Понятие диагонали нужно, чтобы делить фигуру на более простые части и исследовать её углы.

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной, то есть цепочкой отрезков, которая возвращается к начальной точке. Четырёхугольник — частный случай многоугольника: его замкнутая ломаная состоит ровно из четырёх звеньев. Это общее понятие помогает увидеть, что правила для четырёхугольников связаны с правилами для многоугольников.

Как это устроено

Чтобы построить четырёхугольник, последовательно соединяют четыре точки отрезками, а последний отрезок замыкает ломаную, возвращаясь к начальной точке. Концы отрезков становятся вершинами, сами отрезки — сторонами, а пары соседних сторон образуют углы. Замкнутость важна: если последний отрезок не соединить с начальной точкой, получится незамкнутая ломаная, а не многоугольник.

Вершины называют и записывают в порядке их расположения вдоль контура: например, A, B, C, D. Поэтому в обозначении ABCD стороны задаются соседними буквами, включая последнюю и первую: AB, BC, CD и DA. Если перечислить буквы в другом порядке, можно случайно назвать диагональ стороной или указать не тот угол. Четырёх букв достаточно, потому что у фигуры четыре вершины; запись начинают с любой вершины, сохраняя последовательность обхода.

У выпуклого четырёхугольника вся фигура находится по одну сторону от прямой, на которой лежит каждая его сторона. У невыпуклого найдётся сторона, для которой это условие нарушается: часть фигуры окажется по другую сторону от такой прямой. Проверка нужна не только для названия фигуры: при доказательствах расположение частей имеет значение, и свойства выпуклой фигуры нельзя без проверки переносить на невыпуклую.

Если соединить диагональю A и C в выпуклом ABCD, контур разделится на треугольники ABC и ACD. Они не перекрываются внутренними областями, а вместе составляют весь четырёхугольник. Именно поэтому диагональ удобна: у треугольников уже известны простые свойства, которые можно применить к исходной фигуре.

В каждом из двух треугольников сумма внутренних углов равна 180°. Углы двух треугольников вместе дают все четыре угла четырёхугольника: диагональ лишь делит два угла у своих концов на части, не теряя их. Значит, сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 180° + 180° = 360°. Это рассуждение объясняет, откуда берётся правило, а не просто предлагает запомнить число.

Элементы и свойства четырёхугольника

В таблице удобно сначала проверить, какой элемент требуется назвать, а затем определить его по расположению вершин. Для вычислений используй строку о сумме углов только для выпуклого четырёхугольника. Названия сторон и диагоналей сверяй с порядком букв.

Разбор задач

Задача 1. Назовите вершины, стороны и диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого перечислены по порядку.

1. Вершины уже указаны в условии: это A, B, C и D.
2. Стороны соединяют соседние вершины по контуру, поэтому получаем AB, BC, CD и DA.
3. Несоседние пары — A и C, а также B и D. Следовательно, диагонали — AC и BD.

Ответ: вершины A, B, C, D; стороны AB, BC, CD, DA; диагонали AC и BD. Сначала полезно определить соседние пары по порядку записи, а затем назвать оставшиеся пары диагоналями.

Задача 2. Три угла выпуклого четырёхугольника равны 75°, 90° и 110°. Найдите четвёртый угол.

1. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.
2. Сложим известные углы: 75° + 90° + 110° = 275°.
3. Вычтем их сумму из общей: 360° − 275° = 85°.

Ответ: 85°. Проверка: 75° + 90° + 110° + 85° = 360°. Если результат не складывается с известными углами до 360°, значит, где-то допущена ошибка.

Задача 3. Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника. Углы треугольника ABC равны 42° и 68°, а два угла треугольника ACD — 35° и 105°. Найдите четвёртый угол четырёхугольника.

1. В треугольнике ABC третий угол равен 180° − 42° − 68° = 70°.
2. В треугольнике ACD третий угол равен 180° − 35° − 105° = 40°.
3. Условия не уточняют, какие именно вершины имеют углы 35° и 105°. Поэтому нельзя определить, какой из них является углом D четырёхугольника; недостающие углы треугольников сами по себе эту неоднозначность не устраняют.
4. Если подразумевалось, что ∠ADC = 105°, то искомый угол при D равен 105°. Если ∠ADC = 35°, ответ будет 35°; для однозначного решения нужно указать, к какой вершине относится каждый из двух данных углов.

Ответ: по приведённым данным однозначно определить нельзя; возможны 35° или 105° для угла при D. Это пример того, почему при решении важно не только найти числа, но и понять, к каким вершинам они относятся.

Типичные ошибки

• Если записать вершины не по порядку обхода, пары соседних букв могут не соответствовать сторонам. Так ошибаются, когда перечисляют точки как попало, не сверяясь с контуром. Проверь себя: после каждой вершины следующая должна быть соседней, а последняя должна соединяться с первой.

• Отрезок между соседними вершинами нельзя называть диагональю: это сторона. Ошибка возникает, если ориентироваться только на то, что отрезок соединяет две вершины. Проверь, есть ли между вершинами сторона по контуру: если есть, перед тобой не диагональ.

• Правило 360° здесь относится к сумме внутренних углов выпуклого четырёхугольника. Его применяют без оговорок, потому что запоминают число, но забывают условие, для которого оно выведено. Перед вычислением проверь, что фигура выпуклая и речь идёт именно о внутренних углах.

• У четырёхугольника четыре стороны, но диагоналей только две. Их путают, считая все соединения вершин одинаковыми. Чтобы проверить себя, перечисли стороны по контуру, а затем отдельно соедини две пары несоседних вершин.

Связь с другими темами

Для изучения четырёхугольников пригодятся понятия многоугольника, отрезка, вершины и угла. Без них нельзя точно описать фигуру, назвать её части и понять, что соединяет диагональ. Ещё понадобится сумма углов треугольника: именно из неё выводят сумму углов выпуклого четырёхугольника.

Позже четырёхугольники будут изучаться подробнее: появятся их частные виды, например фигуры с особыми сторонами или углами. Рассмотренные определения и умение находить углы станут основой для изучения признаков и свойств этих фигур. Поэтому важно уверенно различать стороны, диагонали и вершины.

Что запомнить

• У четырёхугольника четыре стороны, четыре вершины и четыре угла.
• Вершины четырёхугольника обозначают по порядку.
• У четырёхугольника две диагонали.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• Выпуклый четырёхугольник целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.
• Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.