"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Площадь четырёхугольника показывает, какую часть плоскости занимает фигура, и измеряется квадратными единицами. Для её нахождения фигуру связывают с прямоугольником или разбивают на более простые части. Главное — правильно выбрать основание и перпендикулярную ему высоту, подставить величины в нужную формулу и записать ответ в квадратных единицах. Эти правила применяются к прямоугольнику, параллелограмму, ромбу и трапеции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько единичных квадратов помещается внутри неё. Её обозначают буквой S и измеряют в квадратных единицах, например см² или м². Это понятие нужно, чтобы сравнивать размеры фигур и вычислять, сколько места они занимают.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон: S = ab. Смежные стороны имеют общую вершину и образуют прямой угол. Формула позволяет быстро найти площадь по длине и ширине прямоугольника.
Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту, проведённую к этому основанию: S = ah. Высота — это перпендикулярный отрезок между прямыми, содержащими основания. Такое правило помогает находить площадь даже у наклонённого параллелограмма.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту: S = (a + b)h / 2. Основания — параллельные стороны, а h — расстояние между ними. Формула учитывает оба основания и показывает, что трапеция занимает площадь между ними.
Прямоугольник можно разбить на единичные квадраты со стороной 1. В каждом ряду будет столько квадратов, сколько единиц составляет длина, а число рядов равно ширине. Поэтому общее число квадратов, то есть площадь, равно произведению длины на ширину: S = ab.
Параллелограмм можно превратить в прямоугольник, если отсечь треугольник у одного края и перенести его к противоположному краю. Перенесённая часть точно заполняет недостающий угол, поэтому площадь не меняется. Получившийся прямоугольник имеет одну сторону, равную основанию, и другую, равную высоте, значит S = ah.
Боковая сторона параллелограмма может быть наклонена к основанию, поэтому она не показывает расстояние между параллельными основаниями. Высота перпендикулярна основанию и именно она становится второй стороной прямоугольника после преобразования. Поэтому в формуле используется h, а не наклонная боковая сторона.
Трапецию можно разделить на треугольник и параллелограмм, сложив их площади. В другом способе две одинаковые трапеции соединяют так, чтобы получить параллелограмм с основанием a + b и той же высотой h. Площадь одной трапеции равна половине площади этого параллелограмма: S = (a + b)h / 2.
Сначала выберите сторону, которую будете считать основанием, а затем найдите высоту, перпендикулярную именно этой стороне. Если известны сантиметры, все длины нужно оставить в сантиметрах, а ответ записать в см². При разных единицах измерения их сначала переводят в одну систему.
| Фигура | Какие величины нужны | Формула площади | Единицы площади |
|---|---|---|---|
| Прямоугольник | Длина и ширина | S = ab | см², м² |
| Параллелограмм | Основание и соответствующая высота | S = ah | см², м² |
| Квадрат | Сторона | S = a² | см², м² |
| Ромб | Сторона и высота или диагонали | S = ah или S = d₁d₂ / 2 | см², м² |
| Трапеция | Два основания и высота | S = (a + b)h / 2 | см², м² |
Найдите в условии все величины, указанные во втором столбце, и выберите подходящую формулу. Для ромба возможны два способа, поэтому используйте тот, для которого известны данные. В последнем столбце указано, в каких единицах записывают результат.
Задача 1. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. У прямоугольника известны обе смежные стороны, поэтому подходит формула S = ab. Единицы уже одинаковые, значит результат будет выражен в квадратных сантиметрах.
Ответ: 40 см².
Задача 2. Основание параллелограмма равно 12 см, а высота к нему — 7 см. Здесь нельзя подставлять боковую сторону, даже если она дана отдельно: в условии уже указана нужная высота. Используем формулу S = ah.
Ответ: 84 см².
Задача 3. Основания трапеции равны 10 см и 16 см, высота равна 6 см. Сначала найдём площадь, затем решим обратную задачу для оснований 8 см и 14 см. Во втором случае высоту обозначим буквой h и выразим её из формулы площади.
Ответ: площадь первой трапеции — 78 см²; высота второй трапеции — 7 1/11 см.
Боковая сторона вместо высоты. Так происходит, потому что обе величины имеют единицу длины и могут быть похожи на рисунке. Проверьте, образует ли выбранный отрезок прямой угол с основанием: если нет, это не высота.
Забыто деление на 2 в формуле трапеции. Часто складывают основания и сразу умножают сумму на высоту, получая площадь двух одинаковых трапеций. Запишите полную формулу S = (a + b)h / 2 и проверьте, использована ли полусумма оснований.
Неверная единица ответа. При умножении двух длин некоторые записывают см вместо см². Посмотрите на действие: см × см даёт см², а не линейную единицу.
Перепутаны основание и соответствующая высота. У параллелограмма или трапеции можно выбрать разные стороны, но высота должна относиться именно к выбранному основанию. Проверьте пару величин: отрезок h обязан быть перпендикулярен стороне, которую вы обозначили как основание.
Перед изучением площади нужны свойства прямоугольника, параллелограмма, ромба и трапеции, а также понятие высоты. При вычислениях пригодятся действия с дробями и преобразование формул.
Основой темы служит формула площади прямоугольника. Разбиение фигур на треугольники и параллелограммы помогает выводить новые формулы и находить площадь сложных фигур.
Формулы площадей применяются в задачах на подобие и координаты, при вычислении объёмов тел и в практических измерениях. Они помогают определить площадь комнаты, участка или детали по известным размерам.
Почему площадь параллелограмма нельзя находить как произведение его двух сторон?
Произведение двух сторон даёт площадь прямоугольника, потому что его стороны перпендикулярны. У параллелограмма боковая сторона обычно наклонена, поэтому нужна высота — перпендикулярное расстояние между основаниями.
Как понять, какую высоту брать в формуле?
Высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию. Если за основание взять другую сторону, нужно использовать высоту, проведённую именно к ней.
Можно ли использовать формулу трапеции, если одно из её оснований равно нулю?
Формально при подстановке получится S = bh / 2. Но обычная трапеция имеет два основания, поэтому при нулевом основании речь уже идёт о вырожденном случае, близком к треугольнику.
Как найти площадь ромба, если известны только его диагонали?
Используйте формулу S = d₁d₂ / 2. Нужно перемножить длины диагоналей и разделить результат на 2.
Почему при переводе метров в сантиметры площадь изменяется в 100 раз?
В одном метре 100 сантиметров, а площадь содержит две длины: длину и ширину. Поэтому 1 м² = 100 см × 100 см = 10 000 см², то есть изменение происходит в 10 000 раз.
§ 2. Площадь четырёхугольника
