§ 3. Многоугольники

Определения и обозначения

Ломаная линия — это фигура, составленная из последовательно соединённых отрезков. Эти отрезки называют звеньями, а точки их соединения — вершинами. Ломаная называется замкнутой, если её начало совпадает с концом.

Многоугольник — это простая замкнутая ломаная вместе с ограниченной ею частью плоскости. Простая значит, что несоседние звенья не пересекаются, а соседние имеют только общую вершину. Звенья ломаной называют сторонами, а точки их соединения — вершинами многоугольника.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Вершины считаются соседними, если они соединены стороной. Диагонали помогают изучать внутреннее устройство фигуры и делить её на более простые части.

Выпуклый многоугольник — такой многоугольник, у которого любой отрезок с концами в его точках целиком лежит внутри него. Если хотя бы один такой отрезок выходит наружу, многоугольник невыпуклый. Это свойство удобно проверять по наличию выемки у границы фигуры.

Как это устроено

Чтобы получить многоугольник, звенья ломаной последовательно соединяют и последнее звено возвращают в начальную вершину. Замкнутости недостаточно: если несоседние звенья пересекутся, граница будет иметь самопересечение. Поэтому условие простоты нужно, чтобы внутренняя часть фигуры определялась однозначно.

Название многоугольника зависит от числа его сторон. Фигура с тремя сторонами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, а с пятью — пятиугольником. В общем случае говорят о n-угольнике, где n показывает число сторон.

Каждая сторона имеет две соседние стороны, потому что у неё есть две концевые вершины. Поэтому у многоугольника число сторон равно числу вершин и числу углов. Обозначают его буквами вершин в порядке обхода: ABCDE означает, что вершины идут именно так по границе фигуры.

Диагонали проводят между вершинами, которые не соединены одной стороной. Из выбранной вершины нельзя провести диагональ к самой себе и к двум соседним вершинам: эти направления дают либо ничего, либо стороны. Поэтому из одной вершины n-угольника выходит n − 3 диагонали.

Периметр многоугольника находят сложением длин всех его сторон: P = a₁ + a₂ + … + aₙ. У выпуклого многоугольника диагональ не выходит за пределы фигуры, потому что по определению отрезок между любыми двумя его точками остаётся внутри. У невыпуклого многоугольника некоторые диагонали могут проходить частично вне него.

Основные характеристики многоугольников

Сначала найдите в таблице число сторон фигуры, а затем используйте соответствующую строку. Формула n − 3 подходит для числа диагоналей из одной вершины, но не для общего числа диагоналей.

Разбор задач

Задача 1

Дана ломаная A–B–C–D. Определите, является ли она многоугольником, если отрезки AB и CD пересекаются.

1. Проверим замкнутость. Записанная цепочка начинается в A и заканчивается в D, поэтому без дополнительного звена DA она не замкнута.
2. Даже если добавить отрезок DA, звенья AB и CD будут несоседними и пересекутся.
3. Значит, условие простоты нарушено, и такая граница не задаёт простой многоугольник.

Ответ: нет, данная ломаная не является многоугольником; она не замкнута, а при замыкании имеет пересечение несоседних звеньев.

Задача 2

В пятиугольнике ABCDE перечислите все диагонали из вершины A и найдите периметр, если длины сторон равны 3, 4, 5, 6 и 7 см.

1. У вершины A соседние вершины — B и E, поэтому AB и AE являются сторонами.
2. Несоседние с A вершины — C и D. Диагонали из A: AC и AD.
3. Для периметра сложим длины всех сторон: P = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 см.

Ответ: диагонали AC и AD; периметр равен 25 см.

Задача 3

У выпуклого многоугольника из одной вершины проведено 6 диагоналей. Сколько у него сторон и сколько всего диагоналей?

1. Используем формулу n − 3 для диагоналей из одной вершины.
2. Получаем n − 3 = 6, значит n = 9. Это девятиугольник.
3. Из каждой из девяти вершин выходит по 6 диагоналей, но каждая диагональ посчитана дважды: из каждой из двух её вершин.
4. Общее число диагоналей равно 9 · 6 : 2 = 27.

Ответ: у многоугольника 9 сторон, всего 27 диагоналей.

Типичные ошибки

Замкнутая ломаная автоматически считается многоугольником. Это неверно, если несоседние звенья пересекаются или ломаная не замыкается. Проверьте совпадение начальной и конечной точек и отсутствие самопересечений.

Диагональю называют отрезок между любыми вершинами. Так можно ошибочно включить в список стороны. Сначала найдите две соседние вершины: соединяющий их отрезок является стороной, а диагональ связывает только несоседние вершины.

Число сторон путают с числом диагоналей. У n-угольника всегда n сторон, а диагоналей может быть другое количество. Для проверки отдельно пересчитайте вершины и примените формулу n − 3 только к диагоналям из одной вершины.

Диагонали из всех вершин складывают без деления на два. Каждая диагональ имеет две концевые вершины, поэтому попадает в подсчёт два раза. Чтобы получить общее число, результат n(n − 3) делят на 2.

Связь с другими темами

До изучения многоугольников нужно уметь распознавать отрезок, луч и ломаную, понимать замкнутую линию и измерять длины отрезков. Эти навыки помогают правильно строить границу фигуры и вычислять её периметр.

Многоугольники понадобятся при изучении углов и площадей фигур. Их свойства также используются в задачах на периметр, диагонали и построение геометрических фигур.

Что запомнить

• Многоугольник образован простой замкнутой ломаной и частью плоскости внутри неё.
• У многоугольника число сторон равно числу вершин.
• Стороны многоугольника соединяют соседние вершины.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.
• Периметр равен сумме длин всех сторон.
• Из одной вершины n-угольника можно провести n − 3 диагонали.