§ 4. Площадь многоугольника

Определения и обозначения

Площадь многоугольника — величина, которая показывает, сколько единичных квадратов покрывают фигуру. Её находят подсчётом таких квадратов или вычислением по формулам. Площадь помогает сравнить, сколько места занимают разные фигуры. Обычно её обозначают буквой S.

Единичный квадрат — квадрат, площадь которого принята за единицу измерения. Если за единицу взят квадрат со стороной 1 см, то единица площади — квадратный сантиметр, или см². Для больших участков используют, например, квадратные метры, а для маленьких — квадратные миллиметры. Выбор единицы помогает не записывать результат слишком большими или неудобно маленькими числами.

Равновеликие многоугольники — многоугольники с равными площадями. Их стороны могут иметь разные длины, а сами фигуры — разную форму. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры не по внешнему виду, а по тому, сколько места они занимают. Равновеликие фигуры не обязательно равны по форме и размерам.

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его соседних сторон: S = ab. Здесь a и b — длина и ширина прямоугольника, а S — его площадь. Если стороны измерены в сантиметрах, произведение выражается в квадратных сантиметрах. Это правило позволяет находить площадь без подсчёта всех квадратов по одному.

Как это устроено

Площадь измеряют квадратными единицами, потому что квадрат покрывает небольшой участок плоскости, не оставляя щелей и не накладываясь на соседние квадраты. Обычные единицы, например сантиметры, измеряют длину, а площадь описывает двумерную фигуру. Поэтому единица площади получается из квадрата со стороной в одну единицу длины: квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см². Для маленьких фигур удобны мм² или см², а для больших — м² или км², чтобы числа были практичными.

Если многоугольник разделить на несколько частей, можно найти площадь каждой части отдельно и сложить результаты. Это работает потому, что площадь всего участка складывается из площадей частей, если они вместе покрывают фигуру и не заходят одна на другую. Так сложную форму удобно превратить в несколько простых, например прямоугольников и треугольников. При разбиении нужно внимательно проследить, чтобы ни один участок не остался за пределами частей и не был посчитан дважды.

У равных многоугольников совпадают соответствующие стороны и углы, поэтому один можно совместить с другим движением без изменения формы и размера. При таком совмещении они покрывают одно и то же место, значит, их площади равны. Площадь сохраняется и при разбиении фигуры: если части не терять и не менять их размер, сумма площадей частей равна площади целой фигуры. Это свойство позволяет находить площадь сложной фигуры по отдельным участкам.

Представь прямоугольник, разбитый на одинаковые квадраты со стороной 1 единица. Если в одном ряду помещается b квадратов, а рядов всего a, то квадратов будет a · b. Поэтому площадь прямоугольника со сторонами a и b равна S = ab. У квадрата все стороны равны, и формула становится S = a · a = a². При записи ответа длины перемножают в одинаковых единицах, а площадь указывают в соответствующих квадратных единицах.

Сложный многоугольник часто можно разделить на прямоугольники и треугольники, площади которых находятся по знакомым правилам. После этого площади частей складывают. Другой путь — дополнить фигуру до прямоугольника и вычесть площадь лишнего участка либо сразу вычесть вырезанную часть из площади исходной фигуры. Выбирай способ, при котором размеры всех простых частей легко определить и нет риска пропустить или повторно посчитать участок.

Способы находить площадь многоугольника

Сначала определи, к какой строке таблицы относится задача. Затем проверь, какие длины или площади известны, и выбери формулу либо правило сложения или вычитания. В ответе обязательно укажи квадратные единицы, соответствующие единицам длин.

Разбор задач

Задача 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Нужно понять, что обе длины относятся к соседним сторонам прямоугольника, поэтому подходит формула площади S = ab. Подставим значения и отдельно проверим единицу ответа: сантиметры перемножаются, значит, получится квадратный сантиметр.

1. Запишем формулу: S = ab.
2. Подставим длины сторон: S = 6 · 4 = 24.
3. Укажем единицу площади: см².

Ответ: 24 см². Такое значение означает, что площадь прямоугольника равна площади 24 квадратов со стороной 1 см.

Задача 2. Многоугольник разбит на два прямоугольника со сторонами 5 см и 3 см, а также 2 см и 3 см. Чтобы найти площадь всей фигуры, используем сложение площадей частей. Сначала находим каждую площадь по формуле прямоугольника, а затем складываем; так можно делать, если прямоугольники составляют фигуру без пропусков и наложений.

1. Площадь первого прямоугольника: S₁ = 5 · 3 = 15 см².
2. Площадь второго прямоугольника: S₂ = 2 · 3 = 6 см².
3. Сложим площади: S = S₁ + S₂ = 15 + 6 = 21 см².

Ответ: 21 см². Здесь важно не складывать длины сторон: сначала находят площадь каждой части, а потом складывают именно площади.

Задача 3. Из прямоугольника 10 см на 7 см вырезали прямоугольник 4 см на 2 см. Искомая фигура — это исходный прямоугольник без вырезанного участка. Поэтому сначала найдём площадь целого, затем площадь выреза и вычтем меньшую площадь из большей.

1. Площадь исходного прямоугольника: S₁ = 10 · 7 = 70 см².
2. Площадь вырезанного прямоугольника: S₂ = 4 · 2 = 8 см².
3. Найдём оставшуюся площадь: S = S₁ − S₂ = 70 − 8 = 62 см².

Ответ: 62 см². Для проверки результат должен быть меньше 70 см², потому что после вырезания часть исходной фигуры исчезла.

Типичные ошибки

Площадь иногда записывают в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах. Так происходит, когда путают площадь с длиной: сантиметры измеряют отрезок, а квадратные сантиметры — поверхность. Проверь, что единицы в ответе возведены в квадрат, если стороны измерялись в сантиметрах. Например, результат 24 см², а не 24 см.

При поиске площади прямоугольника некоторые складывают длины его сторон. Это ошибка, потому что сумма сторон связана с периметром, а площадь находят умножением соседних сторон. Перед вычислением запиши нужную формулу S = ab и проверь, что перемножил длину и ширину. Если получилось выражение только в сантиметрах, значит, единицы площади также записаны неверно.

При разбиении многоугольника можно случайно пропустить часть или учесть один участок дважды. Обычно это случается, если части на чертеже не отмечены или их границы не проверены. Убедись, что каждая часть лежит внутри исходной фигуры, вместе они покрывают её целиком и нигде не накладываются. Полезно мысленно обвести каждую часть после того, как её площадь учтена.

В задаче с вырезом иногда прибавляют площадь удалённой части к площади исходной фигуры. Это происходит, если не учесть, что вырезанный участок уже не входит в оставшуюся фигуру. Запиши, что требуется найти именно оставшуюся площадь, и используй разность: площадь целого минус площадь выреза. Проверь результат: он должен быть меньше площади исходной фигуры.

Связь с другими темами

Чтобы находить площади, нужно уметь измерять длины, выполнять умножение и различать площадь и периметр. Знание формулы площади прямоугольника помогает работать с более сложными фигурами: их можно разбивать на простые части и объединять результаты. Этот способ пригодится при изучении площадей треугольников и других фигур. Площади используют и в практических задачах: например, чтобы оценить, сколько материала нужно для покрытия пола или участка.

Что запомнить

• Площадь показывает, сколько единичных квадратов покрывают фигуру.
• Площадь измеряют в квадратных единицах.
• Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.
• Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
• Площадь целой фигуры равна сумме площадей непересекающихся частей, на которые она разбита.
• Чтобы найти площадь фигуры с вырезом, из площади целой фигуры вычитают площадь вырезанной части.