"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
При измерении или вычислении точное значение величины не всегда известно, поэтому его заменяют приближённым. Насколько такая замена отличается от точного значения, показывает абсолютная погрешность, а её возможный максимум задаёт граница погрешности. Относительная погрешность помогает сравнивать точность результатов разного масштаба. Эти понятия нужны, чтобы оценивать надёжность измерений, вычислений и округлений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое значение — число, которое используют вместо точного значения величины. Например, результат измерения длины может быть записан как 8,1 см, хотя действительная длина немного отличается. Так делают, когда точное значение неизвестно или его неудобно записывать полностью. Понятие приближения помогает описать, насколько достоверно известен результат.
Абсолютная погрешность — модуль разности между приближённым значением a и точным значением x: Δ = |a − x|. Модуль нужен, потому что отклонение может быть направлено в любую сторону, а его величина не бывает отрицательной. Погрешность измеряется в тех же единицах, что и сама величина. Она показывает размер ошибки конкретного приближения.
Граница абсолютной погрешности — число δ, для которого выполняется неравенство |a − x| ≤ δ. Оно означает, что фактическое отклонение не превосходит указанного числа. Точное значение погрешности при этом может быть меньше δ. Такая граница позволяет оценить точность, даже если само точное значение неизвестно.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к точному значению величины. Её можно записать как Δ / |x|, а если известна только граница абсолютной погрешности, получить оценку, разделив её на величину значения. Отношение не имеет единиц измерения, поэтому его удобно сравнивать для разных величин. Часто относительную погрешность выражают в процентах, умножая отношение на 100%.
При измерениях точное значение часто нельзя узнать без остатка: у линейки есть деления, а у измерительного прибора — ограниченная точность. При вычислениях точное число может иметь много знаков после запятой, и записывать их все неудобно. Поэтому используют приближённое значение, например округляют результат. Оно сохраняет полезную информацию, но может отличаться от точного.
Чтобы найти абсолютную погрешность, если точное значение известно, вычитают приближённое значение из точного и берут модуль разности. Например, при точной длине 8,3 см и измерении 8,1 см разность равна 0,2 см. Если бы измерение получилось больше точной длины, разность имела бы другой знак, хотя размер отклонения оставался бы положительным. Поэтому модуль позволяет учитывать только величину ошибки, а не её направление.
В реальном измерении точное значение обычно неизвестно, и абсолютную погрешность нельзя вычислить напрямую. Вместо неё указывают границу: например, сообщают, что ошибка не больше 1 см. Это не утверждает, что ошибка равна 1 см: она может оказаться и 0,4 см, и 0,9 см. Граница отвечает на практический вопрос, насколько большим может быть отклонение.
Абсолютная погрешность сама по себе не всегда позволяет справедливо сравнить точность двух результатов. Ошибка 1 см мала для длины комнаты, но велика для длины карандаша. Относительная погрешность показывает долю ошибки по сравнению с размером самой величины. Поэтому результаты разного масштаба можно сопоставить, например в процентах: чем меньше относительная погрешность, тем точнее приближение относительно величины.
При округлении границу ошибки задаёт половина единицы последнего оставленного разряда. Если округляют до единиц, соседние целые числа разделены на 1, поэтому округлённое значение от исходного отличается не больше чем на 0,5. При округлении до десятых единица разряда равна 0,1, а половина — 0,05. Это правило даёт верхнюю границу ошибки округления, даже если исходное число не записано после округления.
| Что рассматриваем | Обозначение и формула | Что показывает |
|---|---|---|
| Абсолютная погрешность | Δ = |a − x| | Размер отклонения приближённого значения от точного, в единицах величины. |
| Граница абсолютной погрешности | |a − x| ≤ δ | Наибольшую возможную абсолютную погрешность. |
| Относительная погрешность | Δ / |x|; в процентах — Δ / |x| · 100% | Размер ошибки по сравнению с самой величиной. |
| Округление до указанного разряда | Граница равна половине единицы разряда | Максимальную ошибку, возникающую при округлении. |
Сначала определите, известно ли точное значение: тогда можно найти абсолютную погрешность, а если нет — используйте указанную границу. Для сравнения результатов разного масштаба смотрите на относительную погрешность. При округлении найдите единицу последнего оставленного разряда и возьмите её половину.
Задача 1. Длина отрезка равна 8,3 см, а при измерении получено 8,1 см. Найдём абсолютную погрешность измерения. Точное значение здесь известно, поэтому можно применить формулу модуля разности. Единицей ответа будут сантиметры, как и у длины.
Ответ: абсолютная погрешность равна 0,2 см. Знак минус у разности показал, что измерение меньше точного значения, но погрешность показывает только размер отклонения.
Задача 2. Число 12,746 округлили до десятых. Запишем результат и границу абсолютной погрешности округления. До десятых оставляют одну цифру после запятой, а следующая цифра определяет, нужно ли увеличить её. Граница зависит от единицы этого разряда, а не от конкретных цифр числа.
Ответ: 12,7; граница абсолютной погрешности округления — 0,05. Значит, отличие исходного числа от округлённого не превосходит пяти сотых.
Задача 3. Приближённое значение длины равно 48 см, а абсолютная погрешность не превышает 1 см. Оценим относительную погрешность, считая 48 см приближённым значением точной длины. Точное значение неизвестно, поэтому найдём не точное отношение, а его оценку по границе ошибки. Результат выразим в процентах.
Ответ: относительная погрешность составляет примерно 2,1% или не превышает примерно 2,1% при данной оценке. Здесь отношение получено с использованием приближённого значения 48 см вместо неизвестного точного.
Не брать модуль разности. Тогда результат может оказаться отрицательным, хотя абсолютная погрешность по определению неотрицательна. Ошибку часто допускают, потому что механически вычитают числа и забывают, что важен размер отклонения. Проверьте себя: абсолютная погрешность должна быть нулём или положительным числом, поэтому после вычитания берите модуль.
Путать абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и величина, а относительная является отношением и единиц не имеет. Их путают, когда не обращают внимания на единицы или сразу переводят результат в проценты. Проверьте запись: у абсолютной погрешности могут быть сантиметры, у относительной — обычно число или проценты.
Считать целую единицу разряда границей ошибки округления. При округлении до десятых единица разряда равна 0,1, но граница составляет 0,05, то есть её половину. Ошибка возникает из-за смешения величины шага между соседними значениями и максимального отклонения до ближайшего округлённого значения. Для проверки разделите единицу последнего разряда на 2.
Принимать границу за точную погрешность. Если известно, что погрешность не больше 1 см, это не означает, что она равна 1 см. Границу часто воспринимают как точное значение, потому что она записана конкретным числом. Проверьте смысл неравенства: |a − x| ≤ δ допускает любое значение ошибки от нуля до δ включительно.
Для работы с погрешностями пригодятся округление десятичных дробей, сравнение чисел и нахождение модуля разности. При измерениях и обработке результатов эксперимента эти понятия помогают оценивать надёжность полученных данных; они встречаются в физике и других предметах. Относительная погрешность связана с процентами и пропорциями: чтобы сравнить точность результатов, ошибку соотносят с размером измеряемой величины.
Чем приближённое значение отличается от точного?
Точное значение полностью задаёт величину, а приближённое используют вместо него, когда точное неизвестно или неудобно записывать. Поэтому приближённое значение может немного отличаться от точного.
Почему при вычислении абсолютной погрешности берут модуль разности?
Разность показывает, насколько приближённое значение отличается от точного, но может быть как положительной, так и отрицательной. Погрешность измеряет величину отклонения, поэтому её записывают неотрицательным числом — модулем разности.
Что означает запись, что погрешность не превышает заданного числа?
Это означает, что фактическая абсолютная погрешность может быть равна этому числу или меньше него. Записанная величина является границей, а не обязательно самой погрешностью.
Зачем нужна относительная погрешность, если уже известна абсолютная?
Абсолютная погрешность показывает отклонение в единицах измеряемой величины, поэтому её неудобно напрямую сопоставлять для величин разного масштаба. Относительная погрешность соотносит ошибку с размером самой величины и позволяет такое сравнение.
Как определить границу погрешности при округлении числа?
Найди единицу того разряда, до которого округляешь, и раздели её пополам. Эта половина и будет границей абсолютной погрешности округления: например, при округлении до десятых она равна 0,05.
§ 1. Приближённые значения и погрешности
