§ 2. Десятичные приближения

Определения и обозначения

Десятичное приближение числа — запись числа конечной десятичной дробью, близкой к исходному числу. Например, вместо бесконечной записи можно использовать 1,41 для √2. Такая замена удобна, когда нужно выполнить вычисление или указать результат измерения.

Приближение с недостатком — десятичное число, не превышающее исходное число. Например, 1,41 меньше √2, поэтому оно подходит как приближение с недостатком. Оно помогает задать нижнюю границу числа.

Приближение с избытком — десятичное число, не меньшее исходного числа. Число 1,42 больше √2, значит, это приближение с избытком. Вместе с приближением с недостатком оно ограничивает исходное число сверху и снизу.

Точность приближения показывает, насколько приближённое число может отличаться от исходного. Если записаны десятые, возможное отклонение связывают с шагом 0,1; если сотые — с шагом 0,01. Понимание точности позволяет оценить, насколько результат пригоден для задачи.

Как это устроено

Бесконечную десятичную запись нельзя полностью выписать, а длинные числа неудобно использовать в вычислениях. Поэтому выбирают конечную запись, сохраняя столько цифр, сколько требуется для задачи. Например, для приблизительной оценки длины может хватить десятых, а для более точного расчёта нужны сотые или тысячные. Приближение не становится точным значением, но упрощает работу с числом.

Приближение можно строить постепенно: сначала выяснить, между какими целыми находится число, затем уточнить его десятые, сотые, тысячные и следующие доли. Каждая новая цифра сужает промежуток возможных значений. Например, если число больше 1,4, но меньше 1,5, можно проверить сотые и найти более тесные границы. Так действуют, потому что разряды десятичной записи делят единицу на всё более мелкие части.

Одно и то же число можно ограничить с двух сторон: взять десятичную дробь ниже него и другую — выше. Первая будет приближением с недостатком, вторая — с избытком. Например, для √2 подходят числа 1,41 и 1,42, потому что 1,41 < √2 < 1,42. Такая пара задаёт границы числа и показывает, где оно расположено, даже если его точную десятичную запись выписать нельзя.

Разряд последней записанной цифры показывает масштаб шага: между соседними десятыми разница 0,1, между соседними сотыми — 0,01. Поэтому запись до сотых обычно позволяет указать число точнее, чем запись до десятых. В школьных задачах словами «с точностью до десятых» обычно задают разряд, до которого сохраняют число. При округлении до этого разряда отклонение не превосходит половины единицы последнего разряда.

Округление выбирает из близких чисел то, которое ближе к исходному с учётом выбранного разряда. Для этого смотрят на цифру сразу после сохраняемой: при цифре от 0 до 4 последнюю сохраняемую цифру не меняют, а при цифре от 5 до 9 увеличивают на единицу. Простое отбрасывание всех следующих цифр не учитывает, куда ближе исходное число. Поэтому, например, 0,875 при округлении до десятых становится 0,9, а при отбрасывании цифр получилось бы 0,8.

Виды десятичных приближений и их характеристики

Сначала по таблице проверь, с какой стороны от исходного числа находится приближение: это определяет его вид. Затем посмотри на последний разряд и способ получения, чтобы оценить точность. В двойном неравенстве нижнюю границу всегда ставят слева, верхнюю — справа.

Разбор задач

Задача 1

Записать число 7/8 в виде десятичного приближения с точностью до десятых и определить, является ли оно приближением с недостатком или с избытком. Чтобы выбрать верную десятичную дробь, сначала найдём точное десятичное значение. Затем округлим его до десятых и сравним округлённый результат с исходным числом.

1. Выполним деление: 7/8 = 0,875.
2. Для десятых оставляем цифру 8 в разряде десятых и смотрим на следующую цифру — это 7.
3. Поскольку 7 не меньше 5, увеличиваем цифру десятых на единицу: получаем 0,9.
4. Сравниваем: 0,9 больше 0,875, значит, это приближение с избытком.

Ответ: 0,9 — приближение с избытком с точностью до десятых. Если бы цифры после десятых просто отбросили, получилось бы 0,8, но это было бы не округление. Сравнение с исходной дробью показывает, что такое приближение оказалось бы с недостатком.

Задача 2

Найти приближения числа √2 с недостатком и с избытком до сотых. Число √2 находится около 1,414, но его точная десятичная запись бесконечна. Чтобы выбрать сотые, нужно проверить соседние числа 1,41 и 1,42 и убедиться, что корень лежит между ними.

1. Возведём 1,41 в квадрат: 1,41² = 1,9881. Это меньше 2, поэтому 1,41 < √2.
2. Возведём 1,42 в квадрат: 1,42² = 2,0164. Это больше 2, поэтому √2 < 1,42.
3. Запишем результат в порядке возрастания: 1,41 < √2 < 1,42.

Ответ: 1,41 — приближение с недостатком, 1,42 — приближение с избытком. Проверка квадратами подходит, потому что числа положительные и при возведении в квадрат их порядок сохраняется. Ширина промежутка между найденными границами равна одной сотой.

Задача 3

Число a округлили до десятых и получили 3,7. Нужно определить, между какими числами могло находиться a, и найти возможную максимальную погрешность. При округлении до десятых границы результата находятся на половине шага, то есть на 0,05 ниже и выше 3,7. Границы включаются по правилу округления, где число, оканчивающееся на 5 в следующем разряде, округляют вверх.

1. Вычтем половину шага: 3,7 − 0,05 = 3,65.
2. Прибавим половину шага: 3,7 + 0,05 = 3,75.
3. Значения от 3,65 включительно до 3,75 не включительно округляются до 3,7.
4. Наибольшее отклонение внутри этого промежутка может приблизиться к 0,05; погрешность округления не превосходит 0,05.

Ответ: 3,65 ≤ a < 3,75; максимальная погрешность округления — 0,05. Число 3,75 уже округляется до 3,8, поэтому верхняя граница не включается. Нижняя граница включается, поскольку 3,65 округляется до 3,7.

Типичные ошибки

Можно назвать число приближением с недостатком только потому, что в нём меньше цифр, и не сравнить его с исходным. Тогда даже число, которое больше исходного, ошибочно попадёт в эту категорию. Проверяй расположение на числовой прямой или выполни сравнение: недостаток должен быть не больше исходного числа.

При отбрасывании цифр результат иногда называют округлённым, хотя следующую цифру не проверяли. Так путают две разные операции и могут получить число, которое не является ближайшим в нужном разряде. Для проверки найди первую отброшенную цифру и примени правило округления: 0–4 оставляют цифру, 5–9 увеличивают.

Точность до десятых путают с точностью до сотых, если считают все цифры после запятой, а не определяют последний сохранённый разряд. Из-за этого неверно указывают и шаг, и возможное отклонение. Подчеркни последнюю записанную цифру: десятые стоят сразу после запятой, сотые — следующими.

В двойном неравенстве границы иногда меняют местами или ставят знаки ≤ без проверки. Тогда исходное число оказывается не между границами либо утверждение включает недопустимую границу. Сначала расположи числа по возрастанию, затем проверь, может ли исходное число равняться каждой границе: для строгого промежутка используй <, для включённой границы — ≤.

Связь с другими темами

Для работы с приближениями нужно уметь сравнивать десятичные дроби, делить и понимать разряды десятичной записи. Эти навыки помогают проверять, с какой стороны от исходного числа находится выбранная дробь и как её округлить. Позже приближения пригодятся при вычислениях с иррациональными числами, измерениях и оценке результатов. На координатной прямой они показывают, между какими делениями расположено число и как уточнить его положение.

Что запомнить

• Десятичное приближение заменяет исходное число более удобной конечной десятичной дробью.
• Приближение с недостатком не больше исходного числа, а приближение с избытком не меньше него.
• Приближения с недостатком и избытком можно использовать как нижнюю и верхнюю границы числа.
• Точность определяется разрядом последней сохранённой цифры.
• При округлении следующая цифра определяет, сохранять последнюю цифру или увеличивать её на единицу.
• Чем меньше разряд последней цифры, тем точнее десятичное приближение.
• Результат приближённого вычисления записывают со знаком ≈.