"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Двучлены xᵐ − aᵐ и xᵐ + aᵐ можно разложить на множители, а значит — быстро проверить, делятся ли они на x − a или x + a. Разность степеней делится на x − a при любом натуральном m, а сумма делится на x + a только при нечётном m. Эти правила помогают раскладывать многочлены, упрощать выражения и решать уравнения. Проверка сводится к подстановке значения, при котором линейный делитель обращается в ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимость многочлена на двучлен означает, что первый многочлен можно представить как произведение двучлена-делителя и многочлена-частного, причём остатка нет. Например, если xᵐ − aᵐ = (x − a)Q(x), то xᵐ − aᵐ делится на x − a. Это понятие нужно, чтобы раскладывать выражения на множители и упрощать вычисления.
Двучлен xᵐ − aᵐ — это разность одинаковых степеней двух выражений: переменной x и числа a. Здесь m — натуральное число, то есть показатель степени принимает значения 1, 2, 3 и так далее. Такое обозначение позволяет записать общий закон разложения, не рассматривая каждую степень отдельно.
Двучлен xᵐ + aᵐ — сумма одинаковых степеней двух выражений. Внешне он похож на разность, но условие его делимости на x + a зависит от показателя m. Поэтому при работе с суммой сначала выясняют, чётный показатель или нечётный.
Показатель степени m определяет, какое разложение применимо и какие знаки будут у слагаемых частного. Разность xᵐ − aᵐ делится на x − a при любом натуральном m, а сумма xᵐ + aᵐ — на x + a при нечётном m. Проверка чётности помогает выбрать нужную формулу и не перепутать условия.
Чтобы проверить делимость на x − a, используем деление многочлена на линейный двучлен: остаток в таком случае является постоянным числом. По теореме Безу он равен значению исходного многочлена при x = a. Для xᵐ − aᵐ получаем aᵐ − aᵐ = 0, значит, остаток нулевой и делимость есть при любом натуральном m.
Формулу разности можно получить, раскрыв произведение (x − a)(xᵐ⁻¹ + axᵐ⁻² + … + aᵐ⁻¹). При умножении на x появляются члены xᵐ, axᵐ⁻¹ и далее, а при умножении на −a — те же промежуточные члены с противоположными знаками. Они сокращаются попарно, остаются только xᵐ и −aᵐ. Поэтому xᵐ − aᵐ = (x − a)(xᵐ⁻¹ + axᵐ⁻² + … + aᵐ⁻¹).
Для суммы при нечётном m проверим произведение на (x + a). В частном знаки чередуются: xᵐ⁻¹ − axᵐ⁻² + a²xᵐ⁻³ − … + aᵐ⁻¹. При умножении на x и на a промежуточные слагаемые возникают дважды с противоположными знаками и сокращаются. Крайние слагаемые дают xᵐ и aᵐ, поэтому xᵐ + aᵐ = (x + a)(xᵐ⁻¹ − axᵐ⁻² + … + aᵐ⁻¹).
Если m чётно, при подстановке x = −a имеем (−a)ᵐ + aᵐ = 2aᵐ. При a ≠ 0 это значение не равно нулю, значит, остаток при делении на x + a ненулевой и делимости нет. Для нечётной степени та же подстановка даёт −aᵐ + aᵐ = 0, что и объясняет различие между чётным и нечётным показателями.
Делители x − a и x + a проверяют по-разному: первый обращается в ноль при x = a, второй — при x = −a. По теореме Безу подстановка этого корня сразу показывает остаток от деления. Если значение многочлена равно нулю, линейный двучлен является его множителем; иначе деления без остатка нет.
| Двучлен | Условие на m | Линейный делитель | Частное |
|---|---|---|---|
| xᵐ − aᵐ | Любое натуральное m | x − a | xᵐ⁻¹ + axᵐ⁻² + … + aᵐ⁻¹ |
| xᵐ + aᵐ | m нечётно | x + a | xᵐ⁻¹ − axᵐ⁻² + … + aᵐ⁻¹ |
| Делимость xᵐ − aᵐ на x − a | Любое натуральное m | x − a | Делится без остатка |
| Делимость xᵐ + aᵐ на x + a | m нечётно; при чётном m и a ≠ 0 делимости нет | x + a | При нечётном m частное с чередующимися знаками |
Сначала определите, стоит в двучлене сумма или разность, затем проверьте чётность m. После этого выберите нужный делитель и формулу частного; при сомнении проверьте делимость подстановкой корня делителя.
Нужно узнать вид двучлена и применить формулу разности степеней. Показатель 5 нечётный, но для этой формулы чётность не важна. После разложения полезно проверить, что промежуточные слагаемые при раскрытии скобок сокращаются.
Ответ: x⁵ − a⁵ = (x − a)(x⁴ + ax³ + a²x² + a³x + a⁴).
Сумма степеней делится на x + a при нечётном показателе, а здесь показатель 6 чётный. Чтобы обосновать ответ, проверим значение многочлена при корне делителя x + a. Если оно не равно нулю, остаток не нулевой.
Ответ: при a ≠ 0 двучлен x⁶ + a⁶ не делится на x + a. Если a = 0, выражение равно x⁶ и делится на x.
Поскольку показатель 7 нечётный, применима формула суммы степеней с делителем x + a. В частном нужно чередовать знаки, начиная с плюса. Затем подставим x = −a в полученный многочлен и внимательно учтём знаки степеней.
Ответ: x⁷ + a⁷ = (x + a)(x⁶ − ax⁵ + a²x⁴ − a³x³ + a⁴x² − a⁵x + a⁶); при x = −a частное равно 7a⁶.
Сумму степеней иногда считают делящейся на x + a при любом m. Такое заключение переносят с формулы разности, не учитывая чётность показателя. Проверьте результат подстановкой x = −a: при чётном m и a ≠ 0 получится 2aᵐ, а не ноль.
Другая ошибка — путать значения для проверки делителей. Для x − a подставляют x = a, а для x + a — x = −a, потому что именно при этих значениях соответствующий двучлен обращается в ноль. Чтобы не перепутать, решите уравнение, полученное приравниванием делителя к нулю.
В частном для суммы нечётных степеней могут поставить все плюсы или неверно начать чередование. Это происходит, если формулу вспоминают по первым членам, не проверяя сокращение при умножении. Перемножьте частное на x + a: промежуточные члены должны уничтожить друг друга, а крайние дать исходную сумму.
Нередко ошибаются в последнем слагаемом частного или его знаке. Последний член должен быть aᵐ⁻¹: для разности он записан со знаком плюс, а для суммы нечётных степеней знак также плюс из-за чередования и нечётности m. Раскройте скобки или подставьте простые значения, например x = 0, чтобы проверить крайний член.
Для применения формул нужны свойства степеней, раскрытие скобок и формулы сокращённого умножения. Проверка делимости связана с теоремой Безу: остаток при делении на линейный двучлен находят подстановкой его корня. Поэтому правила разложения — частный случай общего способа исследования многочленов. Они пригодятся при упрощении выражений, решении уравнений и поиске множителей многочлена.
Почему разность степеней всегда делится на разность оснований?
При подстановке x = a многочлен xᵐ − aᵐ обращается в ноль. По теореме Безу это означает, что остаток при делении на x − a равен нулю, поэтому делимость выполняется при любом натуральном m.
При каком условии сумма степеней делится на x + a?
Это верно, если m — нечётное число. Тогда при x = −a сумма равна нулю, и x + a является её множителем.
Как быстро проверить делимость многочлена на x − a?
Нужно подставить в многочлен x = a. Если значение получилось нулевым, многочлен делится на x − a без остатка.
Почему для суммы чётных степеней формула с делителем x + a не работает?
При x = −a и чётном m получаем (−a)ᵐ + aᵐ = 2aᵐ. При a ≠ 0 это не ноль, поэтому x + a не является множителем.
Как не ошибиться со знаками в частном?
Для разности степеней все слагаемые частного записывают со знаком плюс. Для суммы нечётных степеней знаки чередуют, начиная с плюса; готовое произведение можно проверить раскрытием скобок.
§ 6. Делимость двучленов хm±am на x±a
