"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Преобразования графиков помогают строить новые функции по уже известному графику y = f(x). Сдвиги меняют положение, множители — размер, а знак минус — направление или симметрию. Главное — понимать, какая часть формулы влияет на координату x, а какая на координату y, и выполнять составные преобразования последовательно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование графика — изменение положения, размера или направления исходного графика при переходе от y = f(x) к новой функции. Оно позволяет строить сложные графики, не исследуя функцию с нуля. Достаточно понять, как новая формула меняет координаты точек исходного графика.
Параллельный перенос — сдвиг графика без изменения его формы. В формуле y = f(x) + b меняется высота, а в y = f(x − a) — положение по горизонтали. Такой способ нужен, чтобы быстро учитывать добавленные к функции числа и изменённый аргумент.
Растяжение и сжатие графика — изменение расстояний от графика до оси координат или вертикальных прямых. Множитель y = kf(x) действует на вертикальные координаты, а y = f(kx) — на горизонтальные расстояния. Это помогает определить ширину параболы, амплитуду колебаний и общий масштаб графика.
Симметрия графика — отражение фигуры относительно одной из координатных осей. Формула y = −f(x) меняет знак каждой координаты y, а y = f(−x) — знак координаты x. По расположению минуса можно сразу определить ось, относительно которой выполнено отражение.
При добавлении числа к значению функции меняется только координата y каждой точки. Если точка (x, y) принадлежит графику, то после перехода к y = f(x) + b она становится точкой (x, y + b). Поэтому все точки перемещаются на одинаковое расстояние вверх или вниз, а форма графика сохраняется.
В записи f(x − a) знак кажется противоположным направлению переноса из-за того, что изменяется аргумент. Чтобы получить прежнее значение f(x), новая координата должна удовлетворять xнов − a = x, откуда xнов = x + a. Значит, при a > 0 график сдвигается вправо, хотя внутри скобок стоит минус.
Множитель перед функцией напрямую изменяет значения y: точка (x, y) переходит в (x, ky). Поэтому при |k| > 1 расстояния по вертикали увеличиваются, а при 0 < |k| < 1 уменьшаются. Множитель внутри аргумента действует иначе: из kx = x₀ следует x = x₀/k, поэтому горизонтальные расстояния меняются обратно пропорционально |k|.
Отрицательный множитель перед функцией меняет знак результата, то есть точка (x, y) переходит в (x, −y). Такая замена оставляет x прежней и отражает график относительно оси Ox. В формуле f(−x) меняется знак x, поэтому точка (x, y) переходит в (−x, y) и отражается относительно Oy.
Несколько преобразований объединяют в одной формуле, но каждое действие нужно выделить отдельно. Например, в y = −2f(x − 1) + 4 сначала можно перенести график вправо, затем растянуть по вертикали и отразить относительно Ox, а после этого поднять на 4. Последовательная запись координат точек защищает от ошибки, особенно если одновременно меняются x и y.
| Преобразование | Формула | Изменение координат точки (x, y) | Геометрический результат |
|---|---|---|---|
| Вертикальный перенос | y = f(x) + b | x не меняется, y становится y + b | Сдвиг вверх при b > 0 и вниз при b < 0 |
| Горизонтальный перенос | y = f(x − a) | x становится x + a, y не меняется | Сдвиг вправо при a > 0 и влево при a < 0 |
| Вертикальное растяжение или сжатие | y = kf(x) | y становится ky | Растяжение при |k| > 1, сжатие при 0 < |k| < 1; при k < 0 также отражение относительно Ox |
| Горизонтальное растяжение или сжатие | y = f(kx) | x становится x / k | Сжатие по горизонтали при |k| > 1 и растяжение при 0 < |k| < 1 |
| Отражение относительно оси Ox | y = −f(x) | y становится −y | Каждая точка отражается относительно оси Ox |
| Отражение относительно оси Oy | y = f(−x) | x становится −x | Каждая точка отражается относительно оси Oy |
Сначала найдите в формуле часть, изменяющую аргумент, затем множитель перед функцией и свободное число. По этим элементам определите изменения координат точки. Для проверки можно взять одну характерную точку и проследить её переход по таблице.
Если множитель отрицательный, учитывайте сразу два действия: изменение масштаба и отражение. При составной формуле полезно записывать промежуточные координаты, а не пытаться определить итоговое положение «на глаз».
Дан график функции y = f(x). Нужно получить график y = f(x) + 3 и найти образ точки (2, −1). Число 3 находится вне функции, поэтому оно не меняет аргумент. Следовательно, преобразование затрагивает только вертикальную координату.
Ответ: график переносится вверх на 3 единицы; образ точки имеет координаты (2, 2).
Из графика y = f(x) нужно построить y = −2f(x − 1) + 4. В формуле есть изменение аргумента, множитель перед функцией и свободное число. Разберём их по очереди, чтобы не перепутать направления преобразований.
Ответ: сначала выполняют перенос вправо на 1, затем вертикальное растяжение с отражением и после этого перенос вверх на 4. Для точки (x, y) итоговые координаты будут (x + 1, −2y + 4).
По графику параболы y = x² построим y = −0,5(x + 2)² + 3. Вершина исходной параболы находится в точке (0, 0), поэтому удобно отслеживать именно её. Коэффициент −0,5 отвечает одновременно за сжатие и отражение.
Ответ: вершина параболы — (−2, 3), ветви направлены вниз, потому что коэффициент перед квадратом отрицателен. Парабола стала более широкой по сравнению с y = x² из-за вертикального сжатия.
Ошибка: считать, что y = f(x − a) сдвигает график влево. Её допускают из-за минуса внутри скобок и смешения аргумента с координатой точки. Проверка проста: подставьте x + a и убедитесь, что f((x + a) − a) = f(x), значит, перенос идёт вправо.
Ошибка: путать вертикальное и горизонтальное растяжение. Множитель перед f(x) действует на y, а множитель внутри аргумента — на x, причём расстояния меняются обратно. Для самопроверки укажите, какая координата изменяется у произвольной точки.
Ошибка: забывать об отражении при отрицательном множителе. Знак минус перед функцией не только изменяет размер, но и меняет знак y. Проверьте переход точки (x, y) в (x, −y): это отражение относительно Ox.
Ошибка: применять составные преобразования в неверном порядке. Из-за этого неправильно находят координаты точек или вершины, особенно когда растяжение сочетается с переносом. Записывайте промежуточный результат после каждого действия и только затем переходите к следующему.
Для преобразований нужны понятия функции, её графика, координат точки и умение читать формулу y = f(x). Приёмы применяются к линейным, квадратичным, степенным, показательным и тригонометрическим функциям, потому что их графики часто служат базовыми. Эти знания нужны при исследовании функций, построении сложных графиков и решении уравнений и неравенств графическим методом.
Почему в формуле f(x - a) график сдвигается вправо, хотя перед a стоит минус?
Чтобы получить прежнее значение f(x), нужно подставить вместо x число на a больше: f((x + a) - a) = f(x). Поэтому каждая точка графика перемещается вправо на a.
Чем отличается растяжение графика по вертикали от растяжения по горизонтали?
Множитель перед функцией изменяет координату y: y = kf(x). Множитель внутри аргумента изменяет координату x в обратном отношении: y = f(kx) сжимает график при |k| > 1 и растягивает при 0 < |k| < 1.
Как быстро понять, относительно какой оси происходит отражение?
Если знак минус стоит перед всей функцией, y = −f(x), меняются знаки координат y, поэтому отражение происходит относительно Ox. Если заменён аргумент на −x, y = f(−x), меняются знаки координат x, и отражение идёт относительно Oy.
Можно ли выполнять преобразования графика в любом порядке?
Не всегда: переносы и растяжения могут влиять на результат друг друга. Надёжнее сначала выделить изменения аргумента, затем применить вертикальные преобразования и переносы, каждый раз отслеживая координаты точки.
Как найти координаты вершины или другой характерной точки после преобразований?
Возьмите исходную точку и последовательно изменяйте её координаты по формуле преобразования. Для y = kf(x − a) + b точка (x₀, y₀) переходит в (x₀ + a, ky₀ + b), если отдельно не выполняется отражение по Oy.
1.6. Основные способы преобразования графиков
