1.7. Графики функций, содержащих модули

Определения и обозначения

Выражение |f(x)| означает модуль значения функции f(x). Сначала при выбранном x находят f(x), а затем, если результат отрицателен, меняют его знак на противоположный. Поэтому график такой функции не опускается ниже оси Ox.

Выражение f(|x|) означает, что в функцию вместо аргумента x подставляют его модуль. При любом x число |x| неотрицательно, поэтому используются только значения исходной функции при аргументах от 0 и больше. Такая запись сразу подсказывает, какую часть исходного графика нужно брать.

Чтобы построить y = |f(x)|, сначала изображают график y = f(x). Участки, лежащие выше оси Ox или на ней, оставляют, а участки ниже оси отражают относительно Ox. Это позволяет строить график без нового вычисления каждой точки.

Чтобы построить y = f(|x|), сохраняют правую часть графика y = f(x), соответствующую x ≥ 0. Затем эту часть зеркально отражают относительно оси Oy и получают левую половину. В результате функция становится чётной, то есть её значения при x и −x совпадают.

Как это устроено

При построении y = |f(x)| каждое значение f(x) рассматривается отдельно. Если оно неотрицательно, модуль ничего не меняет, поэтому соответствующая точка остаётся на месте. Если значение отрицательно, точка с координатами (x; f(x)) переходит в точку (x; −f(x)), то есть отражается вертикально через ось Ox.

Точки пересечения исходного графика с осью Ox остаются на месте, потому что для них f(x) = 0 и |0| = 0. Именно в этих точках часто меняется вид графика: слева или справа от них выражение под модулем имеет разный знак. Поэтому корни f(x) = 0 удобно находить до начала построения.

У функции y = f(|x|) аргументы x и −x дают один и тот же модуль: |x| = |−x|. Значит, значения функции в точках с координатами x и −x равны. Поэтому каждой точке правой части соответствует симметричная точка слева, и график симметричен относительно Oy.

Эти два преобразования действуют на разные элементы записи. В y = |f(x)| меняются ординаты, а абсциссы сохраняются; в y = f(|x|) меняются используемые аргументы, и левая часть исходного графика отбрасывается. Поэтому графики обычно различны, например |x − 1| и |x| − 1 имеют разные вершины.

Для y = |f(x)| сначала решают f(x) = 0 и разбивают ось на промежутки, где выражение сохраняет знак. Для y = f(|x|) главная граница возникает при x = 0: справа берут исходную функцию, а слева используют её зеркальное отражение. Если модуль стоит и у аргумента, и у значения, эти действия выполняют последовательно.

Построение графиков функций с модулем

Таблица показывает, какую часть исходного графика нужно использовать и какое отражение выполнить. Сначала определите, к чему относится модуль: к значению функции или к аргументу. Если модулей два, применяйте оба правила в указанной последовательности.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = |x − 2|.

Внутри модуля стоит линейная функция f(x) = x − 2. Её график — прямая, пересекающая ось Ox в точке x = 2. До этой точки значения отрицательны, поэтому именно левую часть прямой нужно отразить вверх.

1. Постройте прямую y = x − 2, например по точкам (0; −2) и (2; 0).
2. Решите x − 2 = 0 и отметьте точку (2; 0), в которой меняется знак.
3. Правую часть прямой оставьте без изменения, а левую часть отразите относительно Ox.

Получается V-образный график с вершиной (2; 0). Ответ: y = |x − 2| равна 2 − x при x < 2 и x − 2 при x ≥ 2.

Задача 2. Построить график функции y = |x² − 4| и указать нули функции.

Рассмотрим выражение f(x) = x² − 4. Его знак определяется сравнением x² с 4, поэтому сначала нужно найти корни и промежутки знакопостоянства. Это важнее, чем сразу строить модуль: знак подмодульного выражения показывает, какие части параболы придётся отражать.

1. Постройте параболу y = x² − 4 с вершиной (0; −4).
2. Решите x² − 4 = 0: получаем x = −2 и x = 2.
3. При −2 < x < 2 выражение отрицательно, поэтому участок параболы ниже Ox отразите вверх.
4. При x ≤ −2 и x ≥ 2 выражение неотрицательно, поэтому внешние ветви оставьте без изменений.

Нули функции: x = −2 и x = 2. Итоговый график симметричен относительно Oy и целиком расположен не ниже оси Ox.

Задача 3. Сравнить графики y = |x − 1| и y = |x| − 1.

В первом выражении модуль относится ко всему значению x − 1, а во втором модуль относится только к аргументу x. Значит, нельзя применять к ним одно и то же правило. Сравним вершины и расположение графиков.

1. Для y = |x − 1| постройте прямую y = x − 1 и отразите её часть ниже Ox; вершина получится в точке (1; 0).
2. Для y = |x| − 1 постройте y = x − 1 при x ≥ 0, затем отразите эту правую часть относительно Oy; вершина будет в точке (0; −1).
3. Отметьте, что первый график лежит не ниже Ox, а второй имеет отрицательное значение −1 в вершине.

Ответ: графики различны. У y = |x − 1| вершина (1; 0), а у y = |x| − 1 вершина (0; −1); первый график получается отражением по значениям, второй — симметричным достраиванием по аргументам.

Типичные ошибки

Ошибка: отражать относительно Ox весь график y = f(x). Так делают, забывая, что неотрицательные значения уже подходят для |f(x)|. Проверьте каждую часть: выше оси график должен сохраниться.

Ошибка: путать |f(x)| и f(|x|). Причина — похожая запись, хотя первый модуль меняет ординаты, а второй работает с абсциссами. Для проверки назовите вслух, что стоит внутри модуля.

Ошибка: при построении f(|x|) сохранять левую часть исходного графика. Это неверно, потому что |x| принимает только неотрицательные значения. Начинайте с участка x ≥ 0 и только потом отражайте его относительно Oy.

Ошибка: не разбивать график по нулям выражения под модулем. Без корней легко отразить не тот участок или неверно раскрыть модуль. Решите f(x) = 0 и проверьте знак на каждом полученном промежутке.

Связь с другими темами

Для построения графиков с модулями нужны навыки изображения элементарных функций, параллельных переносов и отражений относительно координатных осей. Полезно уверенно находить нули функции и промежутки её знакопостоянства.

Эти правила применяются при исследовании функций, сравнении их значений, а также при графическом решении уравнений и неравенств. По графику с модулем можно быстро определить область значений, симметрию и количество корней.

Что запомнить

• Для y = |f(x)| значения функции неотрицательны.
• При построении y = |f(x)| части графика ниже Ox отражаются вверх.
• График y = f(|x|) симметричен относительно Oy.
• Для y = f(|x|) сначала строят правую часть графика исходной функции.
• Выражения |f(x)| и f(|x|) в общем случае задают разные функции.
• Нули выражения под модулем отмечают границы участков построения.